Sea $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita, con subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$ . Quiero demostrar que $\mathfrak{g}$ tiene finitamente muchas representaciones de dimensión $n$ hasta isomorfismo, donde $n \in \mathbb{N}$ .
Sé que las representaciones de dimensión finita de $\mathfrak{g}$ son la suma directa de sus espacios de peso. Pero como $\mathfrak{h}$ es de dimensión finita, también $\mathfrak{h}^*$ por lo que sólo hay un número finito de formas de descomponer una representación $V$ de dimensión $n$ como la suma de sus espacios de peso.
Creo que dos representaciones con la misma descomposición del espacio radicular son isomorfas, concluyendo así el argumento, pero no estoy muy seguro de cómo demostrarlo.
