Tengo que evaluar una integral sencilla. Puedo obtener la antiderivada mediante integración por sustitución. Sin embargo, la integral es una integral definida. Ahora, tengo una pregunta en cuanto a cómo transformar los límites de la integración cuando se hace una sustitución:
La integral lo es: $$ \int_R^0 \sqrt {\dfrac{Rr} {R-r}} dr $$
Hago una sustitución $ r = R\sin^2A $
La integral se reduce entonces a: $$ \int_a^b R^{3/2}\cdot(2\sin^2A)\ dA = R^{3/2}\Big[ A - \dfrac{\sin2A}{2} \Big]_a^b $$
(donde $a$ y $b$ son los nuevos límites).
Ahora, a calcular los nuevos límites:
cuando $r = R\sin^2 A = 0$ entonces $ A = 0 $ . Entre muchos valores posibles, elegí $ A = 0 $ . Cuando $r = R\sin^2 A = R$ entonces $ A = \pi/2 $ o $A = -pi/2$ . Obviamente, la respuesta depende de los valores que elija para $A$ . Ahora bien, aquí no estoy eligiendo valores de $A$ en el que entra en juego la naturaleza periódica de la función seno . Si tomamos los límites como $ \{ pi/2, 0 \} $ obtenemos una respuesta diferente a la que obtenemos tomando los límites como $ \{-pi/2, 0 \} $ . Obviamente algo va mal aquí. ¿De qué se trata?
