Límite fraccionario exponencial

Question

Se trata de la siguiente fracción. Necesito que sea mayor que $0$ como $n\to\infty$ pero creo que no es el caso. $$\begin{equation} \frac{\sum_{i=0}^{n/2-1}{\frac{(an^2)^{i}}{i!}}}{e^{an^2}} \end{equation}$$ para $a>0$ . Gracias

Answer 1

$$\sum_{i=0}^{m-1}\frac{x^i}{i!}=e^x \frac{\Gamma (m,x)}{\Gamma(m)}$$ $x=an^2$ et $m=\frac{n}{2}$ $$\frac{\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\frac{x^i}{i!}}{e^{an^2}} = \frac{\Gamma (\frac{n}{2},an^2)}{\Gamma(\frac{n}{2})}$$ $n\to\infty\quad \begin{cases} \Gamma (\frac{n}{2},an^2)\to 0 \\ \Gamma(\frac{n}{2})\to\infty \end{cases} \quad\implies\quad \frac{\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\frac{x^i}{i!}}{e^{an^2}} \to 0$

Answer 2

Sea $b=\max(a,1)$ . Entonces la parte superior es menor o igual que $$\frac{n}{2}(bn^2)^{n/2}.\tag{1}$$ Porque hay $\frac{n}{2}$ términos en la suma, y cada uno es $\le (bn^2)^{n/2}$ .

El fondo es para $\infty$ mucho más rápido que (1), ya que incluso el $n$ -enésima raíz del cociente tiene límite $0$ .