Hallar qué columnas de una matriz son combinación lineal de las demás

Question

Consideremos el ejemplo en el que tengo una matriz $\mathbf{D}$ en $-1/1$ codificación con $5$ columnas,

$$D = \begin{bmatrix}-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&-1&1\\-1&1&-1&-1&-1\\1&1&-1&1&-1\\ -1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1\\-1&1&1&-1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}$$

Vemos que la cuarta y la quinta columna son combinaciones de las tres primeras columnas, de modo que si etiquetamos las columnas $a,b,c,d,e$ podemos decir que $d=a*b$ et $e=b*c$ . Podemos separar las columnas en dos grupos: $a,b,c$ son columnas básicas et $e,d$ son columnas añadidas . Además, podemos llamar a las relaciones que definen $e$ et $d$ como una combinación de $a,b,c$ definir los contrastes .

Mi pregunta es la siguiente: ¿Hay alguna forma de determinar de forma más general (para una matriz más grande o una matriz con diferentes contrastes definitorios) qué columnas son combinaciones de las demás y

Answer 1

Para un $m \times n$ matriz $A$ deje $A'$ es la única matrixx escalonada reducida por filas que es equivalente por filas a $A.$ Las relaciones de dependencia lineal entre las columnas de $A$ son las mismas que las de las columnas de $A'.$ Las columnas de $A'$ en los que aparece un 1 a la izquierda son una base para el espacio-columna de $A'$ y las columnas de $A$ en las mismas posiciones son una base para el espacio-columna de $A.$ Que el $t-$ columna de $A$ sea $\zeta_t$ y dejar que el $t-$ columna de $A'$ sea $\xi_t$ para $1 \le t \le n.$ Para una columna $\zeta$ de $A$ deje $\xi$ sea la columna de de $A'$ en la misma posición, que el elemento de la fila $i$ de $\xi$ sea $c_i$ y, si $c_i \ne 0$ que el 1 inicial de la fila $i$ de $A'$ se producen en la columna $\nu_i$ de $A'$ para $1 \le i \le m.$ Si $c_i=0,$ deje $\zeta_{\nu_i}=\zeta_{\nu_i}=\mathbf 0.$ Entonces $$\xi=\sum_{i=1}^mc_i\xi_{\nu_i}$$ et $$\zeta=\sum_{i=1}^mc_i\zeta_{\nu_i}$$ .

Answer 2

Existe una reciprocidad en la dependencia lineal.

Si un vector $\bf a$ depende linealmente de $\bf b$ et $\bf c$ entonces $\bf b$ depende linealmente de $\bf a$ et $\bf c$ y viceversa.

Esto no es más extraño que podamos reescribir $${\bf v_0} = \sum_{\forall i \neq 0} c_i {\bf v_i}$$ en $${\bf v_k} = \frac{1}{c_k}\sum_{\forall i \neq k} c_i {\bf v_i}$$

Los pesos lineales sólo se escalan por $c_k$ .

Así que lo que podemos hacer ahora es construir un sistema de ecuaciones lineales eliminando una de las columnas como dato $\bf d$ (modificamos $\bf D$ eliminando esta columna), y el resto como funciones de regresión y resolver con unos mínimos cuadrados lineales clásicos:

$${\bf x_o = }\min_{\bf x}\|{\bf D x - d}\|_2^2$$

Si hay un ajuste perfecto, entonces $\bf d$ depende linealmente de al menos algunos de los vectores de $\bf D$ . Si no, entonces todavía algunos de los vectores en $\bf D$ pueden depender linealmente entre sí.

Answer 3

En los comentarios @Rodrigo de Azevedo dijo que se puede aplicar Eliminación gaussiana que es un método bastante intuitivo de aplicar pero personalmente sugiero que si se quiere encontrar la relación de dependencia lineal entre filas o columnas de una matriz cuadrada, se tome el determinante de la matriz, si es 0, entonces es posible que desee aplicar la eliminación gaussiana. Se reducirá el trabajo.