Equivalencia de definiciones para el espectro puntual aproximado

Question

Sea $T: X \rightarrow X$ sea un operador lineal continuo en un espacio de Banach $X$ .

Definimos el espectro puntual aproximado $AP\sigma(T)$ como el conjunto $$ \{ \lambda \in \mathbb{C} : \lambda - T \;\text{is not injective or}\; \text{Im}(\lambda - T) \;\text{is not closed in X} \}. $$

Quiero demostrar la equivalencia con la definición $$ \lambda \in AP\sigma(T) :\Leftrightarrow \exists (x_n) \subset X, \Vert x_n \Vert =1 \;\text{with}\; \Vert \lambda x_n - Tx_n\Vert \rightarrow 0. $$

Lo que he hecho: " $\Leftarrow$ ".

Lo que necesito: Demuestre que si $\lambda -T$ es inyectiva y $\text{Im}(\lambda - T)$ no está cerrado en $X$ entonces existe una secuencia como la anterior.

Answer 1

Supongamos que $\lambda I-T$ es inyectiva y que el rango $\mathcal{R}(\lambda I -T)$ no está cerrado. Entonces $(\lambda I-T)^{-1}$ no puede estar acotado; de lo contrario, este operador acotado se extendería continuamente a un operador lineal acotado $R_{\lambda}$ sobre el cierre $\mathcal{R}(\lambda I-T)^c$ de la gama, y $$ (\lambda I-T)(\lambda I-T)^{-1}=I $$ se extendería automáticamente (por continuidad) a

$$ (\lambda I-T)R_{\lambda}x=x,\;\;\; x\in\mathcal{R}(\lambda I-T)^c. $$

Pero eso contradiría el hecho de que la gama de $\lambda I-T$ no está cerrado. Así que $(\lambda I-T)^{-1}$ no puede ser acotada, lo que implica la existencia de una secuencia de vectores unitarios $\{ e_n \}\subset \mathcal{R}(\lambda I-T)$ tal que $\|(\lambda I-T)^{-1}e_n\|\rightarrow\infty$ . Entonces $$ f_n= \frac{1}{\|(\lambda I-T)^{-1}e_n\|}(\lambda I-T)^{-1}e_n $$ es una secuencia de vectores unitarios tal que $$ (\lambda I-T)f_n =\frac{1}{\|(\lambda I-T)^{-1}e_n\|}e_n \rightarrow 0. $$ Por lo tanto $\lambda$ está en el espectro puntual aproximado de $T$ .