Teorema: Espacio euclidiano $\langle E;+\mid R\rangle$ es normado si $||x||=\sqrt{(x,x)}$ , $x\in E$ .

Question

¿Cómo demuestro este teorema? ¿Quizá haya que aplicar aquí la desigualdad de Cauchy?

Answer 1

Debe comprobar que la función $x\mapsto \sqrt{(x,x)}$ es una norma, es decir, definida positiva, homogénea y respeta la desigualdad triangular.

La definición positiva proviene de la del producto interior: $||x||=0$ si $(x,x)=0$ si $x=0$ ;

homogeneidad: $||\rho x||=\sqrt{(\rho x,\rho x)}=\sqrt{\rho^2(x,x)}=|\rho|||x||$ .

desigualdad triangular (aquí utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz):

$||x+y||^2=( x+y,x+y)=||x||^2 + ||y||^2 + 2(x,y)\leq ||x||^2 + ||y||^2 + 2|(x,y)|\leq$ $\leq ||x||^2 + ||y||^2 + 2||x||||y||=(||x|| + ||y||)^2$