¿cuántas soluciones tiene la raíz cuadrada de un número positivo?

Question

Así que un amigo mío me preguntó cuántas soluciones tiene $\sqrt{49}$ tienen. Respondí con $\pm7$ ya que recuerdo que cuando era más joven no conseguí el bote completo en mi examen porque olvidé añadir el $\pm$ a la respuesta. Pero hoy me han dicho y he aprendido algo, que por definición, la raíz cuadrada de un número entero positivo es siempre positiva . Entonces, ¿es erróneo que la respuesta sea $\pm7$ , mi amigo también me dijo que está mal porque no puedo conseguir $-7$ de $\sqrt49$ . Lo he intentado y se me han ocurrido dos posibles formas (no sé si son correctas o no)

$\sqrt{49} \longleftrightarrow\sqrt{-7}\sqrt{-7}=\sqrt7\sqrt7\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{49}i^2=-7$

el otro método que utilicé fue

$\sqrt49 \longleftrightarrow\sqrt{-7}\sqrt{-7}=(-7)^{1/2}(-7)^{1/2}=(-7)^{1/2+1/2}=(-7)^1=-7$

Sé que $x^2=49$ tiene dos respuestas posibles.

Answer 1

Hay dos números que puedes elevar al cuadrado para obtener 49. Has identificado correctamente ambos.

A qué se refieren normalmente los matemáticos cuando escriben $\sqrt{x}$ es el número positivo que, elevado al cuadrado, da x. Sin embargo, esta definición se rompe de vez en cuando y está muy cargada de contexto.

No creo que merezca la pena discutir tal distinción, siempre que se entienda lo que otra persona quiere decir con su terminología.

Answer 2

$\sqrt{x}$ de verdad $x$ se define como positivo solución real de la ecuación $z^2 - x = 0$ .

Sin embargo, la pregunta de tu amigo está mal formulada, porque preguntar "cuántas soluciones $\sqrt{47}$ tiene" no es una pregunta adecuada. No hay ninguna ecuación que resolver, por lo que no hay soluciones de las que hablar.

Answer 3

Raíz cuadrada de números reales positivos se definen para tomar la positivo raíz. Lo es por definición, pero no por cálculo.

$x^2=49$ tiene $2$ raíces, pero sólo tomaremos la positiva para la raíz cuadrada.

Se hace, para preservar la propiedad que $sqrt$ como una función, en lugar de un mapeo multivaluado.

Answer 4

En mis tiempos de profesor de secundaria, recuerdo que un estudiante recién llegado de un país extranjero (no recuerdo de qué país) me dijo que en su país solían escribir cosas como $$\sqrt{4}=\{-2, 2\}$$

que hace tiene sentido, en cierto modo. Así que no estás totalmente equivocado. Pero no es así como se define una función en el sentido clásico occidental. A función sólo puede tomar un valor cada vez. Si hay varias opciones que parecen naturales, tienes que elegir una de ellas, de una vez por todas, si vas a definir una función.

Tenga en cuenta, sin embargo, que hay una notación occidental que mostrará cosas como $\{-2, 2\}$ . Si deja que $f(x)=x^2$ denota el mapa cuadrado, entonces utilizamos la notación $f^{-1}(49)$ para denotar el conjunto de todas las entradas que darán como resultado $49$ mediante la función $f$ . Por lo tanto $$f^{-1}(49)=\{-7, 7\}$$

Answer 5

1) $\sqrt {49}$ no es una pregunta y no tiene solución.

2) "¿Cuántas raíces cuadradas tiene 49?" es una pregunta y la respuesta es "2; 7 y -7".

3) "Cuáles son las raíces cuadradas de 49" es otra pregunta y la respuesta es "7 y -7".

4) Y finalmente una cuarta pregunta es "¿Cuál es la raíz cuadrada positiva de 49?" y la respuesta es "7".

Fíjate que los cuatro son diferente (no)preguntas Y cada pregunta tiene una respuesta diferente.

Así que la respuesta a la pregunta:

"¿Qué es $\sqrt 49$ " es "Por definición la raíz cuadrada positiva de 49" es " $7$ o $-7$ .

Y así el un solución a $x = \sqrt{49}$ es igual que la solución a $x = 3+4$ . Es $x = 7$ . Ya está.

Pero la respuesta a la diferente pregunta:

"Qué números al cuadrado te dan $49$ " es "Las raíces cuadradas de $49$ " es "Hay dos $7$ et $-7$ ".

Y la solución a $x^2 = 49$ es:

$x^2 = 49 \iff x^2 - 49 = 0 \iff (x-7)(x+7) = 0 \iff x -7 =0$ O $x+7 = 0 \iff x = 7$ O $x = -7$ . Así que $x = \pm 7$ .

O para hacerlo más rápidamente:

$x^2 = 49$

$x = \pm\sqrt {49}$

$x = \pm 7$ .

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El resultado es:

1) Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas; un valor positivo y un valor negativo, y el valor absoluto de estas dos raíces es igual (es decir, son iguales en magnitud pero de paridad opuesta).

2) La notación $\sqrt {foo}$ es por definición el positivo raíz cuadrada. Y así la notación $-\sqrt{foo}$ es por construcción el negativo raíz cuadrada.

Así que para $k > 0$ el dos soluciones para $x^2 = k$ son $x =\pm \sqrt k$ donde $-\sqrt{k} < 0 < \sqrt{k}$ .