Ejemplo de factores invariantes

Question

Tengo problemas para entender la relación entre los factores invariantes y las nociones relacionadas. ¿Podría alguien ayudarme con el siguiente ejemplo, que espero aclare las cosas?

Sea $T$ sea un endomorfismo lineal en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre los números complejos, y que la matriz $$ \left( \begin{matrix} x^2(x-1)^2 & 0 & 0 \\ 0 & x(x-1)(x-2) & 0 \\ 0 & 0 & x(x-2)^2 \end{matrix} \right). $$ sea la matriz de relaciones de $V$ cuando se ve como $\mathbb C [x]$ módulo en la operación $x \cdot \alpha = T(\alpha )$ para cualquier elemento $\alpha$ en $V$ con respecto a los generadores $\{v_1, v_2, v_3\}$ .

¿Cuáles son los factores invariantes de $T$ ? ¿Son sólo $x^2(x-1)^2$ , $x(x-1)(x-2)$ , $x(x-2)^2$ o hay que ajustar esta matriz para que el primer factor invariante divida al segundo, etc. .

¿Cuáles son los divisores elementales de $V$ ? A partir de aquí, ¿cuál es la forma Jordan de $T$ ?

Answer 1

Sea $A$ ser tu matriz. Como sospechas, los factores invariantes no son sólo las entradas diagonales de $A$ . Esto está claro ya que no satisfacen la condición de divisibilidad que mencionas. Sin embargo, podemos obtener fácilmente los divisores elementales ya que $A$ es diagonal. Como $\mathbb{C}[x]$ -tenemos \begin{align*} V &\cong \frac{\mathbb{C}[x]}{(x^2(x-1)^2)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{(x(x-1)(x-2))} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{(x(x-2)^2)}\\ &\cong \frac{\mathbb{C}[x]}{(x^2)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{((x-1)^2)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{(x)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{(x-1)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{(x-2)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{(x)} \oplus \frac{\mathbb{C}[x]}{((x-2)^2)} \end{align*} por el Teorema del Resto Chino. Por tanto, los divisores elementales de $A$ son $$ x,x,x^2, x-1, (x-1)^2, x-2, (x-2)^2 \, . $$ Podemos recombinarlos en los factores invariantes $a_1, a_2, a_3$ . El mayor factor invariante debe ser divisible por todos los divisores elementales, por lo que $a_3 = x^2 (x-1)^2 (x-2)^2$ . Mirando lo que queda, encontramos que $a_2 = x(x-1)(x-2)$ y, por último, que $a_1 = x$ .

Pero encontrar los factores invariantes no es realmente necesario para calcular la forma de Jordan. A partir de la lista de divisores elementales, vemos que $T$ tiene la forma canónica jordana $$ J = \left(\begin{array}{r|r|rr|r|rr|r|rr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \, . $$ Véase $\S12.3$ (p. 491) de Dummit y Foote para más información sobre cómo obtener la forma de Jordan a partir de la lista de divisores elementales.