Reescribir la integral como integral iterada

Question

Reescribir la integral $$\iint_D xy^2 \, dA$$ como una integral iterada donde $D$ es la región delimitada por $x+y=-1$ y $x+y^2=1$ .

Intenté hacer la pregunta y obtuve $\int_{-3}^0 \int_{-1}^2xy^2 \, dy \, dx$ . ¿Es correcto?

Answer 1

$D$ es una región delimitada por una recta y una parábola. Sin embargo, la región de la integral doble que propones es $\{(x,y):-1 \leq y \leq 2, -3 \leq x \leq 0\}$ que es un rectángulo.

Mi consejo es que saques la región $D$ .

Podemos ver entonces las restricciones simultáneas $-y-1 \leq x \leq 1-y^2$ y $-1 \leq y \leq 2$ .

Answer 2

Ha establecido $$\left\lbrace \begin{array}{} -1 \leqslant y \leqslant 2 \\ -1-y \leqslant x \leqslant 1-y^2 \end{array} \right\rbrace = \\ \left\lbrace \begin{array}{} -3 \leqslant x \leqslant 0 \\ -1-x \leqslant y \leqslant \sqrt{1-x} \end{array} \right\rbrace \cup \left\lbrace \begin{array}{} 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\sqrt{1-x} \leqslant y \leqslant \sqrt{1-x} \end{array} \right\rbrace$$ tan integral $$\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{-1-y}^{1-y^2}xy^2\,dx\,dy =\int\limits_{-3}^{0}\int\limits_{-1-x}^{\sqrt{1-x}}xy^2\,dy\,dx + \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x}}^{\sqrt{1-x}}xy^2\,dy\,dx$$