Encontrar la base que se ajusta a la forma cuadrática

Question

Sea $g(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ de verdad $a,b,c$ .

Encontrar una base (o demostrar que existe) $\{v_1,v_2\}$ para $\mathbb{R}^2$ tal que $g(xv_1+yv_2)=gx^2+hy^2$ donde $g,h=\pm 1$ o $0$ .

Se agradecería una pista. ¿Puedo elegir $a,b,c$ ? Sé que puedo escribir esto como una forma cuadrática usando una matriz, pero no veo cómo eso ayudaría. ¿Cómo obtengo el término medio $bxy$ a desaparecer eligiendo una base fija?

Answer 1

(1) En primer lugar $A = \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{pmatrix}$ sea una matriz simétrica arbitraria. Hallar sus valores propios $\lambda_{1,2}$ y los correspondientes vectores propios $u_{1,2}$ . Entonces usted tiene $A = UDU^T$ con $U = [u_1,u_2]$ y $D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$ Todo en términos de $\alpha,\beta,\gamma$ . La matriz $U$ será unitario.

(2) A continuación, hallar una matriz simétrica(!) $A$ tal que $g(x,y) = z^TAz$ donde $z = (x,y)^T$ . En el primer paso se ha calculado la descomposición $A = UDU^T$ ya. Por lo tanto, usted tiene $$ g(z) = z^TAz = z^TUDU^Tz = w^TDw, $$ donde $w = U^Tz$ . En $z = Uw$ esto da $$ g(w_1u_1 + w_2u_2) = g(Uw) = w^TDw = d_1w_1^2 + d_2w_2^2. $$ Eso es casi lo que se pedía. Solo te queda escalarlo todo adecuadamente.