encontrar el área de la región $x=a\cos^3\theta$ $y=a\sin^3\theta$

Question

Halla el área de la región encerrada por $x=a\cos^3\theta$ y $y=a\sin^3\theta$

¿Qué pasos debo dar para encontrar la zona?

Answer 1

Para llegar a la zona: $$ \begin{align} A &=\int_{}^{}x\,\mathrm{d}y\\ &=\int_0^{2\pi}a\cos^3(\theta)\,3a\sin^2(\theta)\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=3a^2\int_0^{2\pi}\sin^2(\theta)\cos^4(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{1} \end{align} $$ Podemos calcular $A$ sin utilizar integrales trigonométricas.

Sustituyendo $\theta\mapsto\theta+\pi/2$ en $(1)$ obtenemos $$ A=3a^2\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\sin^4(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{2} $$ Añadir $(1)$ y $(2)$ recordando que $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$ , produce $$ 2A=3a^2\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{3} $$ Multiplicar $(3)$ por $4$ da $$ 8A=3a^2\int_0^{2\pi}\sin^2(2\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{4} $$ Sustituyendo $\theta\mapsto\theta+\pi/4$ en $(4)$ obtenemos $$ 8A=3a^2\int_0^{2\pi}\cos^2(2\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{5} $$ Añadir $(4)$ y $(5)$ produce $$ \begin{align} 16A &=3a^2\int_0^{2\pi}1\,\mathrm{d}\theta\\[4pt] &=6\pi a^2\\[8pt] A&=\frac{3\pi a^2}{8}\tag{6} \end{align} $$

Answer 2

Pista:

Utilice este hecho que si $x=x(t),~y=y(t),\alpha\leq t\le\beta$ entonces:

$$S=\frac{1}2\int_{\alpha}^{\beta}(xy'-yx')dt$$ Aquí tenemos $0\le t\le 2\pi$ y la integral definida no es tan difícil. Piensa en $(3/8)a^2\pi$ .