Hace un tiempo, un profesor de matemáticas me dio este problema: encontrar soluciones a $x^4+y^7=z^9$$x,y,z>0$. Encontré $(2^{56})^4+(2^{32})^7=(2^{25})^9$. En general, si $k=8+9l$ $(2^{7k},2^{4k},2^{\frac{28k+1}{9}})$ es una solución. Entonces el maestro me pidió dos preguntas: ¿hay otras soluciones, y hay otras soluciones en las que al menos uno de $(x,y,z)$ es impar.
Mi progreso para la segunda pregunta: es fácil ver que si al menos uno es impar, exactamente dos son impares. Si $x$ $z$ son impares, $1+0\equiv(2k+1)^9 (\text{mod }16)$, y similar ecuaciones de existir para $(x,y)$ o $(y,z)$ son impares. También, he bruteforced esta ecuación para$y\leq15000$$z<y$, pero no he sido capaz de encontrar ninguna solución.
Los pensamientos?
EDIT: por supuesto, para cualquier número n, podemos encontrar soluciones que $x,y,z\equiv 0 \text{ (mod n)}$, multiplicando $x^4+y^7=z^9$$n^{\text{lcm}(4,7,9)}$. También, mi maestro dio la pista sobre la pregunta acerca de la extraña soluciones: $1+511=512$.
