la conmutante de $\mathcal{HS(H)}$

Question

Sea $\mathcal{HS}(H)$ sea el conjunto de operadores de Hilber Schmidt en un espacio de Hilbert,es una $C^*$ Me pregunto si tenemos una descripción explícita de la conmutante de $\mathcal{HS(H)}$ es la conmutante de $\mathcal{HS(H)}$ cerrado en $B(H)$ ?

Answer 1

Para cualquier conjunto $S\subset B(H)$ la conmutante de $S$ es igual a la conmutante de la norma del operador cierre de $S$ . Dado que el operador cierre de normas de $\mathcal{HS}(H)$ es $K(H)$ la conmutante de $\mathcal{HS}(H)$ es igual a la conmutante de $K(H)$ que es $\mathbb C$ .