Cuando estudiamos la Integración de Riemann en la recta Real vimos que nos da el área cubierta por esa función. También al estudiar la integral de línea y la integral múltiple obtenemos una interpretación física. ¿Qué se puede decir de la Integración Compleja, es decir, qué estamos haciendo esencialmente? Gracias de antemano....
Respuestas
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Las integrales complejas tienden a ser la integral de una función alrededor de algún camino cerrado $\gamma$ :
$$\oint_\gamma f$$ Aquí podemos introducir una parametrización específica de $\gamma$ - en este ejemplo considere un círculo, así $\gamma:[0,1]\to\mathbb C$ se define por $\gamma(t) = Re^{2\pi it}$ .
Así que tenemos eso: $$\oint_\gamma = f(\gamma(t))\gamma'(t)dt = \int_0^{1} f(Re^{2\pi it}) (2\pi i R)e^{2\pi it}dt$$
Aquí, puedes notar que esto es realmente sólo una integral de línea, sólo que expresada en coordenadas complejas. Eso es todo lo que la integración compleja es en realidad - integrales de línea, que son muy a menudo en torno a trayectorias cerradas.
scitamehtam
Puntos
348
En las condiciones adecuadas, se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo, por lo que, con $F'=f$ y $\Gamma $ un camino desde $\alpha $ a $\beta $ $$ \int_\Gamma f(z)\,dz=F(\beta)-F(\alpha) $$
En general, el lado derecho no corresponderá a nada físicamente interpretable, es sólo la diferencia de valor de una función compleja evaluada en dos puntos.
Si adoptas una parametrización de alguna trayectoria en el plano complejo, $\gamma(t), t \in [a,b]$ entonces puedes hacer cosas como calcular la longitud del camino como $$ \int_a^b |\gamma'(t)|\,dt $$ pero aquí estás haciendo cosas "especiales" con el integrando.
