Si $N\lhd H×K$ entonces $N$ es abeliano o $N$ se cruza con una de $H$ o $K$ no trivial

Question

Estoy reflexionando sobre este problema:

Si $N\lhd H×K$ entonces $N$ es abeliano o $N$ se cruza con una de $H$ o $K$ de forma no trivial.

Supongo; $N$ no es abeliano por lo que $(n,n')$ y $(m,m')$ en $N$ tal que $([n,m],[n',m'])\neq 1$ . Pero no puedo ir más allá. Se agradecen las sugerencias. Gracias.

Answer 1

Recuerde: en general, $\,N\lhd G\Longrightarrow [G,N]\leq N$ así que en tu caso: $$N\lhd H\times K\Longleftrightarrow [H\times K:N]\leq N\Longrightarrow \,\,\text{in particular}\,\,[H:N]\,,\,[K:N]\leq N$$

donde identificamos $\,H\cong H\times 1\,\,,\,K\cong 1\times K\,$

Supongamos $\,N\,$ se cruza con $\,H\,,\,K\,$ trivialmente, por lo que $\,[H,N]\subset H\cap N =1\,$ y etc... ¿puedes continuar?

Answer 2

Esta es mi solución que evita el uso de la notación $[-,-]$ . Es lo mismo que la solución de DonAntonio y la pista de Geoff Robinson esencialmente.

Lema. Si $A\lhd G, B\lhd G, A\cap B=\{e\}$ entonces $ab=ba$ para todos $a\in A, b\in B$ .

Supongamos que $N\cap H=\{e\}=N\cap K$ . Tenga en cuenta que $H\lhd G, K\lhd G$ . Entonces por el lema $nh=hn$ y $nk=kn$ para cualquier $n\in N, h\in H, k\in K$ . De ello se deduce que $N\subseteq Z(G)$ porque $G=H\times K$ .

Esta pregunta también aparece en la obra de Hungerford Álgebra (Ejercicio I.8.7).