Cómo deducir esta transformada coseno de Fourier del producto de la función de Bessel modificada

Question

Quiero saber cómo deducir $$ \int_0^\infty K_\nu(ax)I_\nu(bx)\cos cxdx=\frac{1}{2\sqrt{ab}}Q_{\nu-\frac12}(\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}) $$ Mi intento:

He evaluado $$ \int_0^\infty J_\nu(ax)J_\nu(bx)e^{-cx}dx=\frac{1}{2\sqrt{ab}}Q_{\nu-\frac12}(\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}) $$ Entonces quiero probar $$ \int_0^\infty K_\nu(ax)I_\nu(bx)\cos cxdx= \int_0^\infty J_\nu(ax)J_\nu(bx)e^{-cx}dx $$ He probado con la transformada de Fourier, la transformada de Mellin y series para demostrar la ecuación, pero he fracasado.

¿Cómo deducir la ecuación? $$ \int_0^\infty K_\nu(ax)I_\nu(bx)\cos cxdx=\frac{1}{2\sqrt{ab}}Q_{\nu-\frac12}(\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}) $$ o $$ \int_0^\infty K_\nu(ax)I_\nu(bx)\cos cxdx= \int_0^\infty J_\nu(ax)J_\nu(bx)e^{-cx}dx $$ Gracias por su tiempo.

Answer 1

La expresión correcta es $$ \int_0^\infty J_\nu(ax)J_\nu(bx)e^{-cx}dx=\frac{1}{\pi\sqrt{ab}}Q_{\nu-\frac{1}{2}}\!\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}\right) $$ en condiciones adecuadas en $\nu$ , $a$ , $b$ y $c$ (véase 6.612.3 en Gradshteyn y Ryzhik). Supongamos además que todos los parámetros son reales. Deformamos el contorno de integración del eje real positivo al eje imaginario positivo apelando al teorema de Cauchy, empleamos http://dlmf.nist.gov/10.27.E6 , http://dlmf.nist.gov/10.27.E8 y http://dlmf.nist.gov/10.4.E3 deducir \begin{align*} & \int_0^{ + \infty } {K_\nu (ax)I_\nu (bx)\cos (cx)dx} = \Re \int_0^{ + \infty } {K_\nu (ax)I_\nu (bx)e^{icx} dx} \\ & = \Re \int_0^{ + i\infty } {K_\nu (ax)I_\nu (bx)e^{icx} dx} = \Re \int_0^{ + \infty } {iK_\nu (ate^{\frac{\pi }{2}i} )I_\nu (bte^{\frac{\pi }{2}i} )e^{ - ct} dt} \\ & = \Re \int_0^{ + \infty } {ie^{\pi i\nu /2} K_\nu (ate^{\frac{\pi }{2}i} )J_\nu (bt)e^{ - ct} dt} = \frac{\pi }{2}\Re\int_0^{ + \infty } {H^{(2)}_\nu (at)J_\nu (bt)e^{ - ct} dt} \\ & = \frac{\pi }{2}\int_0^{ + \infty } {J_\nu (at)J_\nu (bt)e^{ - ct} dt} =\frac{1}{2\sqrt{ab}}Q_{\nu-\frac{1}{2}}\!\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}\right). \end{align*} Podemos omitir la condición de que los parámetros sean reales mediante la continuación analítica. Para las condiciones precisas, véase 6.672.4 en Gradshteyn y Ryzhik.