No puedo responder completamente a la pregunta, pero apuntaré algunas ideas.
En primer lugar, puedo determinar el clasificado $\mathbb F_2$ -estructura del espacio vectorial de $H^*(G_n(\mathbb R^{n+k}))$ . Efectivamente, $G_n(\mathbb R^{n+k})$ tiene una descomposición celular en términos de las llamadas células de Schubert, es decir, para cualquier secuencia $1\le\sigma_1<\cdots<\sigma_n\le n+k$ , dejemos que $$e(\sigma):=\{X\in G_n(\mathbb R^{n+k}):\dim(X\cap\mathbb R^{\sigma_i})=i,\dim(X\cap \mathbb R^{\sigma_i-1})=i-1\ (1\le \forall i\le n)\}.$$ Entonces, $e(\sigma)$ es una célula de dimensión $(\sigma_1-1)+\cdots+(\sigma_n-n)$ .
Con respecto a esta descomposición celular, considérese el complejo celular co-cadena $$C^0G_n(\mathbb R^\infty)\to C^1G_n(\mathbb R^\infty)\to\cdots,$$ cuya homología es $H^*G_n(\mathbb R^\infty)$ . Afirmo que los derivados son todos $0$ . De hecho, a priori $H^iG_n(\mathbb R^\infty)$ es un subcociente de $C^iG_n(\mathbb R^\infty)$ pero tienen la misma dimensión. Así, para cualquier $k$ también tenemos $C^iG_n(\mathbb R^{n+k})\cong H^iG_n(\mathbb R^{n+k})$ .
En particular, $\dim(H^*G_n(\mathbb R^{n+k}))={n+k\choose n}$ .
También a partir del argumento anterior, vemos que la inyección $G_n(\mathbb R^{n+k})\hookrightarrow G_n(\mathbb R^\infty)$ induce una suryección sobre las cocadenas celulares, es decir, existe una suryección $$u\colon H^*G_n(\mathbb R^\infty)=\mathbb F_2[w_1,\cdots,w_n]\to H^*G_n(\mathbb R^{n+k}).$$ Además, consideremos la canónica $n$ -haz vectorial $\xi$ en $G_n(\mathbb R^{n+k})$ . Existe una secuencia exacta $$0\to \xi\to\epsilon^{n+k}\to\eta\to 0,$$ donde $\epsilon$ es el haz de líneas trivial, y $\eta$ es un rango $k$ paquete. Toma, $\eta$ es el pull-back del dual del haz canónico a lo largo de $G_n(\mathbb R^{n+k})\cong G_k(\mathbb R^{n+k})\hookrightarrow G_k(\mathbb R^\infty)$ también lo ha hecho la clase Stiefel-Whitney $1+\overline w_1+\cdots+\overline w_k$ . Del mismo modo, $\xi$ es el pull-back del haz canónico a lo largo de $G_n(\mathbb R^{n+k})\hookrightarrow G_n(\mathbb R^\infty)$ también lo ha hecho la clase Stiefel-Whitney $1+w_1+\cdots+w_n$ . Así, la secuencia exacta corta anterior nos dice $$\begin{align*} 1&=w(\epsilon^{n+k})\\ &=w(\xi)w(\eta)\\ &=(1+w_1+\cdots+w_n)(1+\overline{w}_1+\cdots+\overline w_k), \end{align*}$$ por lo que la suryección $u$ factores mediante: $$A_{n,k}:=\mathbb F_2[w_1,\dots,w_n]/((1+w_1+\cdots+w_n)(1+\overline{w}_1+\cdots+\overline w_k)-1)\to H^*G_n(\mathbb R^{n+k}).$$
Así, para demostrar el isomorfismo, basta con calcular la dimensión del cociente, que debe ser ${n+k\choose n}$ .
Una estrategia podría ser observar el homomorfismo $G_n(\mathbb R^{n+k})\hookrightarrow G_n(\mathbb R^{n+k+1})$ dada por la inyección $\mathbb R^{n+k}\hookrightarrow\mathbb R^{n+k+1}$ . Esto da un diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} A_{n,k+1} @>>> A_{n,k}\\ @VVV @VVV\\ H^*G_n(\mathbb R^{n+k+1}) @>>> H^*G_n(\mathbb R^{n+k}), \end{CD} donde todos los mapas son suryecciones. Basta con poner de alguna manera el núcleo de $A_{n,k+1}\to A_{n,k}$ en biyección con $A_{n-1,k+1}$ para hacer funcionar la inducción.
