Hallar el coeficiente de $x^8$ en $(1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6)^6$

Question

Hallar el coeficiente de $x^8$ en $(1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6)^6$

¿cómo hacerlo? Creo que debería ser $3^6$ desde $(3x^2)^6=3^6x^8$ . (esto es falso)

¿Es cierto?

Answer 1

Sea $S:=(1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6)$ . Entonces $$\begin{align}S(1+x)&=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6+7x^7\\ &=\frac{1+x^7}{1+x}+7x^7\end{align}$$ Así que $$\begin{align} S&=\frac{1+x^7}{(1+x)^2}+\frac{7x^7}{1+x} \end{align}$$ Entonces tenemos $$ S^6=\sum_{r=0}^6{n\choose r}\frac{(1+x^7)^r(7x^7)^{n-r}}{(1+x)^{2r+n-r}} $$ El ojo observador notará que $n-r\le 1$ de lo contrario $\deg(7x^7)^{n-r}>8$ así que miramos: $$ 6\frac{(1+x^7)^5\cdot 7x^7}{(1+x)^{11}}+\frac{(1+x^7)^6}{(1+x)^{12}} $$

Cabe señalar que $\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^\infty {k+n-1\choose n-1}x^k$ por lo que en el primer término tenemos $$42x^7(1+x^7)^5(1-11x+\ldots)\to-462x^8$$ Y en el segundo mandato: $$ (1+6x^7+\ldots)(1-12x+\ldots+{19\choose 11}x^8-\ldots )\to -72x^8+75582x^8 $$

Así que $75582-462-72=75048$ es el coeficiente de $x^8$ .

Answer 2

Aviso $$\frac{1}{(1+x)^2} = 1 -2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6-8x^7 + 9x^8 + O(x^9)$$

Por tanto, el coeficiente de $x^8$ en $(1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6)^6$ es el mismo que el en

$$\left[\frac{1}{(1+x)^2} + \big(8x^7 - 9x^8\big)\right]^6 = \frac{1}{(1+x)^{12}} + \binom{6}{1}\frac{8x^7-9x^8}{(1+x)^{10}} + O(x^9) $$ La igualdad anterior es cierta porque cuando expandimos el LHS por teorema del binomio términos que contienen el factor $(8x^7-9x^8)^k$ es del orden de $o(x^{13})$ para $k > 1$ . Desde $$\frac{1}{(1+x)^{\alpha}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{\alpha+n-1}{n}x^n$$

El coeficiente que queremos es $$(-1)^8\binom{12+8-1}{8} + 6\times\left[8 \times (-1)^1\binom{10+1-1}{1} - 9\right]\\ = \binom{19}{8} - 6\times 89 = 75582 - 534 = 75048 $$

Answer 3

SUGERENCIA. Se podría agrupar adecuadamente y aplicar el Teorema del Binomio varias veces (supongo que conoce el Teorema Binomial). Sin embargo, sería más fácil utilizar el Teorema Multinomial (véase la misma página): $$ (x_1+x_2+\cdots x_m)^n=\sum_{k_1,k_2,\cdots,k_m}\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}x_1^{k_1}x_{2}^{k_2}\cdots x_{m}^{k_m} $$ Sin embargo, incluso con esto como John señaló, el álgebra seguiría siendo intensivo y un programa de ordenador sería más fácil. Las matemáticas me dan la solución de

Expand[(1 - 2 x + 3 x^2 - 4 x^3 + 5 x^4 - 6 x^5 + 7 x^6)^6, x]

 1 - 12 x + 78 x^2 - 364 x^3 + 1365 x^4 - 4368 x^5 + 12376 x^6 - 
 31776 x^7 + 75048 x^8 - 164720 x^9 + 338520 x^10 - 655200 x^11 + 
 1199744 x^12 - 2085552 x^13 + 3450600 x^14 - 5444672 x^15 + 
 8205714 x^16 - 11825352 x^17 + 16306836 x^18 - 21523320 x^19 + 
 27190674 x^20 - 32866928 x^21 + 37986600 x^22 - 41932320 x^23 + 
 44138080 x^24 - 44207856 x^25 + 42019992 x^26 - 37771328 x^27 + 
 31956744 x^28 - 25287120 x^29 + 18557848 x^30 - 12491136 x^31 + 
 7588581 x^32 - 4046028 x^33 + 1800750 x^34 - 605052 x^35 + 
 117649 x^36

dando el coeficiente de $x^8$ como $75,048$ . Puede haber un método más sencillo notando que los términos dentro del paréntesis son la derivada de $$ x-x^2+x^3-x^4+\cdots +x^7 $$ que es casi la de los primeros términos de la serie de Taylor de $\frac{-1}{1+x}$ . Por supuesto, entonces uno tendría esto a la $6$ de potencia y no me queda claro cómo se podría usar esto para hacer este problema más rápido. Sin embargo, me parece demasiada "coincidencia" como para no poder adaptarlo a una solución rápida utilizando algo de álgebra inteligente y coeficientes de series de Taylor. Si tengo tiempo lo investigaré más tarde o quizás alguien dé una solución alternativa con este método en lugar de usar el Teorema Multinomial.

EDITAR. Como señaló K. Rmth, la serie entre paréntesis sería una versión truncada de la serie de Taylor de $\frac{1}{(1+x)^2}$ . Sin embargo, al hacer una serie infinita en lugar de truncar, se pueden obtener términos x8 adicionales de cosas como $x_7\cdot x1$ que quizá no hayas captado con la suma finita anterior. Si no se toman suficientes términos en su paréntesis. De hecho, utilizando este método se obtiene una respuesta diferente, ¡pero muy parecida! Uno podría usar esto y encontrar qué términos quitar, es decir, qué términos no son producidos por su expansión, para obtener la respuesta correcta. La respuesta de la serie de Taylor produciría 75.582 mientras que la respuesta real es 75.048, una diferencia de 534. Así que la cantidad de combinaciones no producidas por tu expansión debe sumar $534$ . Este método podría ser más rápido, pero sigue siendo costoso desde el punto de vista informático (para un humano), al igual que el método original.

Answer 4

Aunque este caso permite el uso de series de Taylor, que podría ser sólo una coincidencia, su bien vale la pena el tiempo para mostrar el enfoque más general que es la fórmula multinomial--que se muestra en el post de mathematics2x2life. Encuentro que usar la fórmula multinomial es muy útil en expresiones trinomiales donde la binomial usual no funciona directamente. En este caso el polinomio es demasiado grande para darle un nombre,

$$(7x^6-6x^5+5x^4-4x^3+3x^2-2x+1)^6$$

Primero voy a definir las variables de la fórmula,

$$(x_1+x_2+\cdots x_m)^n=\sum_{i,j,k,...}\binom{n}{i,j,k,...}x_1^{i}x_{2}^{j} x_{3}^{k}...$$

En comparación con nuestra expresión sabemos que $n=6$ y como resultado $i+j+k+L+m+n+o=6$ en todo momento. Tenemos siete letras para los siete términos de la expresión. Utilizamos las letras $i,j,k...$ para determinar los coeficientes de varios $x^8$ condiciones. En este caso concreto, había $18$ condiciones. Explicaré los primeros, pero enunciaré los demás sin explicaciones.

Para empezar utilizamos el primer término, que es $7x^6$ . El valor de $i$ claramente no puede ser un $2$ ya que eso hará que el término grado sea mayor que $8$ por lo que sólo quedan dos posibilidades $i=0$ y $i=1$ ignoramos $i=0$ porque surgirá más tarde cuando el otro $j,k,l,...$ asuman sus valores. Para saber qué combinación elegir, hay que comprender la implicación del $i$ . Cada término tiene un coeficiente como tal, $$\frac{n!}{i!\times j!\times k!...o!}x_{1}^{i}x_{2}^{j}...x_{7}^{o}$$

Por lo tanto, para encontrar los coeficientes de todas las $x^8$ términos tenemos que ver todas las combinaciones de $i,j,k...$ para el que surge un poder del 8º y para el que $i+j+k+L+m+n+o=6$ . Es como intentar resolver una ecuación simultánea con restricciones, aunque en este caso se trata de una ecuación con muchas restricciones. Si el término constante, $1$ no estuviera en la expresión, el número de posibilidades se reduciría a $2$ -simplificando claramente el trabajo.

Ahora volvamos a $i=1$ si $i=1 \implies (7x^6)^{i=1}$ entonces tenemos que multiplicarlo por un término con $x^2$ . Si nos fijamos en los otros términos, hay dos posibilidades,

$$i=1, \ m=1, \ o=4 \implies \frac{6!}{1!\times 1! \times 4!}(7x^6)^{1}\times(3x^2)^1\times 1^4=630x^8 $$ $$i=1, \ n=2, \ o=3 \implies \frac{6!}{1!\times 2! \times 3!}(7x^6)^{1}\times(2x)^2\times 1^3=1680x^8 $$

$630$ y $1680$ forman parte del coeficiente total de $x^8$ . A continuación se muestra el resto:

$$j=1, \ L=1, \ o=4 \implies 720x^8 $$

$$j=1, \ m=1, \ n=1, \ o=3 \implies 4320x^8 $$

$$j=1, \ n=3, \ o=2 \implies 2880x^8 $$

$$k=2, \ o=4 \implies 375x^8 $$

$$k=1, \ L=1, \ n=1, \ o=3 \implies 4800x^8 $$

$$k=1, \ m=2, \ o=3 \implies 2700x^8 $$

$$k=1, \ n=4, \ o=1 \implies 2400x^8 $$

$$k=1, \ m=1, \ n=2, \ o=2 \implies 10800x^8 $$

$$L=2, \ m=1, \ o=3 \implies 2880x^8 $$

$$L=2, \ n=2, \ o=2 \implies 5760x^8 $$

$$L=1, \ m=2, \ n=1, \ o=2 \implies 12960x^8 $$

$$L=1, \ m=1, \ n=3, \ o=1 \implies 11520x^8 $$

$$L=1, \ n=5, \implies 768x^8 $$

$$m=4, o=2 \implies 1215x^8 $$

$$m=3, \ n=2, \ o=1 \implies 6480x^8 $$

$$m=2, \ n=4 \implies 2160x^8 $$

Tenga en cuenta que no he declarado la falta $i,j,k,...$ ya que son cero. Ahora, para hallar el coeficiente final, sumamos todos los términos individuales para obtener $75048x^8.$