Consideremos a continuación la ecuación del calor $$ \begin{cases} u_t -\frac{1}{2}u_{xx}=f(t,x) & t>0 \;\; x \in \mathbb R \newline u(0,\cdot)=\mu(\cdot) \end{cases} $$ donde $\mu$ es una medida sobre $\mathbb R$ normalmente satisfaciendo alguna condición que no es muy importante para esta pregunta. Pero como referencia, una condición que he visto es que $\mu$ satisfacer $$ \int_{\mathbb R}e^{-ax^2}|\mu|(dx) < \infty \;\;\;\; \text{for all $ a $>0} $$
Mi pregunta es ¿qué significa que una medida sea la condición inicial? Si $\mu(\cdot)=\delta_0(\cdot)$ entonces entiendo que esto significa que inicialmente hay una masa puntual en $0$ . Pero ¿y si $\mu$ ¿era una medida diferente, por ejemplo la medida de Lebesgue? ¿Qué significaría la condición inicial en este caso?
¿En qué se diferencia esto de tener una función como condición inicial? ¿Es más general tener un valor inicial medido y tener una función como valor inicial es sólo un caso específico de una condición inicial valorada por una medida, o ambas cosas no están relacionadas?
