El problema del billar de Alhazen en una elipse

Question

Esta era una pregunta que por alguna razón fue eliminada por el OP. Soy un futuro estudiante de segundo año intrigado por el problema del billar de Alhazen. ¿Podría alguien publicar aquí la respuesta a la pregunta original?

Estaba trabajando en un proyecto para la escuela y me preguntaba cómo hacerlo de una manera poco convencional. Se me ocurrió resolver el problema del billar de Alhazen, es decir, deducir una ecuación general para una elipse. Este problema se suele plantear para un círculo y, hasta ahora, he intentado utilizar el método proporcionado en "100 grandes problemas de matemáticas elementales", de Heinrich Dorrie. Este problema se refiere a las reflexiones, y se resuelve utilizando cocientes tan de los ángulos con los que inciden el rayo incidente y el reflejado. Aquí tienes un diagrama para tu referencia (del método de Dorrie que he intentado aplicar aquí).

Cuando igualo los cocientes tan de alfa y beta utilizando las otras sumas de ángulos mencionadas, la sustitución se complica debido a la ecuación de la elipse. Cualquier perspectiva o pensamiento sería apreciado. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $A$ y $B$ son dos puntos dentro de un billar circular $\Gamma$ con centro $O$ .
Queremos un punto $P$ en el límite de $\Gamma$ tal que el disparo de $A$ a $P$ pasa por $B$ :

así que queremos un punto $P\in\partial\Gamma$ tal que $OP$ biseca $\widehat{APB}$ .
Tenemos (al menos) dos formas de enfocar la cuestión:

1. Podemos considerar una variable $P(\theta)$ en $\partial\Gamma$ y calcula $Q(\theta) = OP\cap AB$ .
   Por el teorema de la bisectriz, $OP$ biseca $\widehat{APB}$ si $\frac{AQ}{QB}=\frac{AP}{PB}$ ;
2. Podemos considerar la elipse a través de $P$ con focos en $A,B$ . $P$ es una solución si dicha elipse es tangente a $\Gamma$ en $P$ por lo que podemos considerar el lápiz de elipses con focos en $A$ y $B$ y calcular el parámetro para el cual un miembro de dicho lápiz es tangente a $\Gamma$ imponiendo que un discriminante sea evanescente.

En ambos casos, la solución viene dada por una raíz de un polinomio de tercer grado, por lo que el problema, en general, no es resoluble mediante regla y compás.

Answer 2

¿Podría aplicar nuestros resultados recientes? y estamos considerando las aplicaciones a la Geometría.

La división por cero está única y razonablemente determinada como 1/0=0/0=z/0=0 en las extensiones naturales de fracciones. Tenemos que cambiar nuestras ideas básicas para nuestro espacio y mundo

División por cero z/0 = 0 en espacios euclídeos Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura y Saburou Saitoh Revista internacional de matemáticas y computación Vol. 28(2017); Número 1, 2017), 1 -16. http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007 http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi http://okmr.yamatoblog.net/

Relaciones de 0 e infinito Hiroshi Okumura, Saburou Saitoy Tsutomu Matsuura http://www.e-jikei.org/ /Camera%20ready%20manuscrito_JTSS_A https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017