El retroceso de $\mathscr{F}$ está generada por sus secciones globales (resp. amplias, resp. muy amplias) implica $\mathscr{F}$ es así.

Question

Ahora intento resolver los ejercicios 5.1.29 y 5.1.30 del libro de Liu Geometría Algebraica y Curvas Aritméticas, pero no puedo resolverlos en absoluto. Así que por favor denme algunas pistas o referencias.

En primer lugar $ \pi : X' \to X$ sea un morfismo fielmente plano de esquemas, y $\mathscr{F}$ una gavilla cuasi coherente en $X$ . Entonces $\mathscr{F}$ está generada por sus secciones globales si $\pi^*\mathscr{F}$ es así.

A continuación, supongamos que $X,X'$ son cuasicompactos, y sea $\mathscr{L}$ una gavilla invertible en $X$ . Si $\pi^*\mathscr{L}$ es amplio, entonces $\mathscr{L}$ es amplio.

Por último $A,B$ sean anillos noetherianos, $X$ un esquema adecuado sobre $A$ , $ A \to B$ un homomorfismo fielmente plano, $\pi : X_B \to X$ un cambio de base de $X$ con respecto a $ A \to B$ et $\mathscr{L}$ una gavilla invertible en $X$ . Ahora bien, si $\pi^*\mathscr{L}$ es muy amplia con respecto a $B$ entonces $\mathscr{L}$ es muy amplia con respecto a $A$ .

Por favor, ayuda.

Answer 1

Las dos preguntas sobre esquemas son falsas.

Sea $X$ sea una curva elíptica y y $\pi:X'\to X$ sea una cubierta etale de grado 2. Entonces, $\pi$ es fielmente plana. Entonces hay un haz de líneas de dos torsiones $L$ de $X$ tal que $\pi^*L=\mathcal{O}_{X'}$ . $L$ no tiene secciones, por lo que no se genera globalmente, pero $\pi^*L$ es.

Para la siguiente, dejemos que $\pi^{-1}(P)=Q+R$ para algunos $P\in X$ . Sea $Y=X'-\{Q\}$ . Entonces, $\pi:Y\to X$ es fielmente plana, $L$ no es amplia en $X$ pero como $Y$ es afín cualquier haz de líneas es amplio, en particular $\pi^*L$ .