Por definición, $$\phi\ast\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t-x)\psi(x)\;dx=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(t-x)\;dx$$ $\phi(x)=0$ a menos que $0\leq x<1$ en cuyo caso $\phi(x)=1$ . Por lo tanto $$ \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(t-x)\;dx=\int_0^1\psi(t-x)\;dx$$ Consideremos ahora algunos casos. Si $t\geq 2$ entonces $t-x\geq t-1\geq 1$ para todos $x\in[0,1]$ por lo que la integral es cero. Análogamente, si $t<0$ entonces $t-x\leq t<0$ para todos $x\in[0,1]$ por lo que de nuevo la integral es cero.
Eso nos deja $0\leq t<2$ . Si $0\leq t<1$ entonces $t-x\in [0,1)$ cuando $0\leq x\leq t$ Así que $$ \int_0^1\psi(t-x)\;dx=\int_0^t\psi(t-x)\;dx=\int_0^t\psi(x)\;dx$$ y esta integral es igual a $t$ si $0\leq t<\frac{1}{2}$ y es igual a $\frac{1}{2}-(t-\frac{1}{2})=1-t$ si $\frac{1}{2}\leq t<1$ .
Por último, si $1\leq t<2$ entonces $t-x\in[0,1)$ cuando $t-1<x\leq 1$ Por lo tanto $$\int_0^1\psi(t-x)\;dx=\int_{t-1}^1\psi(x)\;dx$$ que es igual a $\frac{1}{2}-(t-1)-\frac{1}{2}=1-t$ si $1\leq t<\frac{3}{2}$ y es igual a $-[1-(t-1)]=t-2$ si $\frac{3}{2}\leq t<2$ .