Convolución de dos funciones a trozos

Question

$$\phi(t)=\begin{cases}1&t\in[0,1)\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ and $$\psi(t)=\begin{cases}1&t\in[0,1/2)\\-1&t\in[1/2,1)\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$

Sé que $\mathcal{F}^{-1}[\hat{\phi}\cdot\hat{\psi}]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi*\psi$ pero se supone que debo encontrar la convolución usando la definición $f*g=\int_{-\infty}^\infty f(t-x)g(x)dx$ . Mi mayor problema es cómo encontrar los límites de la integración. ¿Cómo sé cuándo $t-x\in[0,1/2)$ ?

Answer 1

Por definición, $$\phi\ast\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t-x)\psi(x)\;dx=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(t-x)\;dx$$ $\phi(x)=0$ a menos que $0\leq x<1$ en cuyo caso $\phi(x)=1$ . Por lo tanto $$ \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(t-x)\;dx=\int_0^1\psi(t-x)\;dx$$ Consideremos ahora algunos casos. Si $t\geq 2$ entonces $t-x\geq t-1\geq 1$ para todos $x\in[0,1]$ por lo que la integral es cero. Análogamente, si $t<0$ entonces $t-x\leq t<0$ para todos $x\in[0,1]$ por lo que de nuevo la integral es cero.

Eso nos deja $0\leq t<2$ . Si $0\leq t<1$ entonces $t-x\in [0,1)$ cuando $0\leq x\leq t$ Así que $$ \int_0^1\psi(t-x)\;dx=\int_0^t\psi(t-x)\;dx=\int_0^t\psi(x)\;dx$$ y esta integral es igual a $t$ si $0\leq t<\frac{1}{2}$ y es igual a $\frac{1}{2}-(t-\frac{1}{2})=1-t$ si $\frac{1}{2}\leq t<1$ .

Por último, si $1\leq t<2$ entonces $t-x\in[0,1)$ cuando $t-1<x\leq 1$ Por lo tanto $$\int_0^1\psi(t-x)\;dx=\int_{t-1}^1\psi(x)\;dx$$ que es igual a $\frac{1}{2}-(t-1)-\frac{1}{2}=1-t$ si $1\leq t<\frac{3}{2}$ y es igual a $-[1-(t-1)]=t-2$ si $\frac{3}{2}\leq t<2$ .

Answer 2

Puedes considerar este hecho: La convolución conmuta con las traslaciones, es decir escribiendo $T_xf(z) = f(y-x)$ y, por tanto $supp(T_xf) = x + supp(f)$ , tienes $$ T_x(f \ast g) = (T_x f) \ast g = f \ast (T_x g) $$ . Como la segunda función consiste en dos copias desplazadas de la función indicadora del semiintervalo, sólo hay que calcular la convolución de $\phi$ con la función indicadora de $[0,1/2]$ es decir, la versión dilatada de dicha función.

Esto también requiere algunos cambios, pero verás que obtienes una función trapezoidal. Así que tienes que mirar al final la diferencia de dos funciones trapezoidales, lo que debería ser fácil. De hecho, todas son lineales a trozos entre los medios enteros si lo veo correctamente.