Tengo que derivar la siguiente relación: $$H_{2n}(0)= (-1)^{n} \frac{(2n)! } {n! } $$ donde $H_{n} (x) $ son polinomios de Hermite. Lo que he hecho hasta ahora 1) intenté usar esta fórmula: : $H_{n}(x)= (-1)^{n} e^{x^2} \frac{d^n} {dx^n} (e^{-x^2} )$ pero no pude encontrar una relación para n-ésima derivación de $e^{-x^2}$ . Incluso he intentado utilizar la expansión en serie de Taylor para $e^{-x^2} $ pero eso no me llevó muy lejos. 2)intenté usar esta fórmula de recurrencia para polinomios de Hermite: $H_{n+1} = 2x H_n - 2nH_{n-1}$ conociendo $H_0(x)=1$ y $H_1(x)=2x$ . Solucioné el problema de esta manera pero no creo que sea una forma adecuada de hacerlo. ¿Alguien tiene alguna idea? Gracias.
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Roger Hoover
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La fórmula de Rodrigues da $$ H_{2n}(x) = e^{x^2}\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}e^{-x^2}=\sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{k!}\cdot\sum_{k\geq n}\frac{x^{2k-2n}}{k!}(2n)!\binom{2k}{2n}(-1)^k $$ y evaluando el lado derecho en $x=0$ los únicos términos relevantes son el término asociado a $k=0$ en la serie anterior y el término asociado a $k=n$ en esta última serie, lo que lleva a $$ H_{2n}(0) = 1\cdot \frac{1}{n!}(2n)!\binom{2n}{2n}(-1)^n = (-1)^n\frac{(2n)!}{n!}.$$
