$P(E|F) + P(E|F^{c})=1$ ¿tiene sentido?

Question

$P(E|F) + P(E|F^{c})=1$ ¿tiene sentido para cualquier $E$ y $F$ ?

Answer 1

No. Sólo toma $E$ y $F$ (y $F^c$ ) independiente y obtendrá $2P[E]$ .

Por otra parte $P[E\mid F]+P[E^c\mid F]=1$

Answer 2

En general, no. $P(E|F) + P(E^C|F)=1$ tiene sentido, porque: $$P(E|F)+P(E^C|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}+\frac{P(E^C\cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1.$$

Ejemplo 1 (estafa): $100$ estudiantes hicieron un examen. $80\%$ alumnos habían estudiado para el examen y $90\%$ de ellos lo pasaron. $20\%$ estudiantes no habían estudiado y $25\%$ de ellos lo pasaron.

Sea $E=\{$ Aprobación del examen $\}$ , $F=\{$ estudiar para el examen $\}$ . Entonces: $$P(E|F)=0.9; P(E|F^C)=0.25 \Rightarrow P(E|F)+P(E|F^C)=1.15>1;\\ =========================================\\ P(E|F)=0.9; P(E^C|F)=0.1 \Rightarrow P(E|F)+P(E^C|F)=1.$$

Ejemplo 2 (pro): $100$ estudiantes hicieron un examen. $80\%$ alumnos habían estudiado para el examen y $90\%$ de ellos lo pasaron. $20\%$ estudiantes no habían estudiado y $10\%$ de ellos lo pasaron.

Sea $E=\{$ Aprobación del examen $\}$ , $F=\{$ estudiar para el examen $\}$ . Entonces: $$P(E|F)=0.9; P(E|F^C)=0.1 \Rightarrow P(E|F)+P(E|F^C)=1;\\ =========================================\\ P(E|F)=0.9; P(E^C|F)=0.1 \Rightarrow P(E|F)+P(E^C|F)=1.$$