Identificación de la integración en cadenas suaves con integración ordinaria

Question

Sea $M$ sea una $n$ -y denotamos por $A \in H_n(M;\mathbb{Z})$ la clase fundamental de $M$ (un generador de homología singular coherente con la orientación de $M$ ). Consideremos los dos mapas siguientes del grupo de cohomología de-Rham superior $H^n_{\mathrm{dR}}(M)$ a $\mathbb{R}$ :

1. Integración regular de $n$ -formas: $\omega \mapsto \int_M \omega$ . Se define mediante partición de la unidad y desciende a cohomología por el teorema de Stokes.
2. Representar a $A$ como una cadena suave $A = [\sum a_i \sigma_i]$ donde $\sigma_i : \Delta^n \rightarrow M$ son suaves $n$ -simplifica e integra $\omega$ por $$ \omega \mapsto \int_{\sum a_i \sigma_i} \omega := \sum a_i \int_{\Delta^n} \sigma_i^*(\omega). $$ Esto está bien definido y es independiente de la representación de $A$ de nuevo por el teorema de Stokes para cadenas.

Ambos mapas son $\mathbb{R}$ -mapas lineales de un espacio vectorial real unidimensional a $\mathbb{R}$ y por lo tanto son un verdadero múltiplo uno del otro. ¿Por qué son iguales?

Probablemente habría que rastrear cuidadosamente las definiciones, identificaciones y dualidades, pero no consigo dar con el quid de la cuestión.

Answer 1

Podemos suponer que $A=[\sum\sigma_i]$ en realidad sólo se representa como la suma de todas las $n$ -en alguna triangulación lisa orientada de $M$ . Dado que los dos mapas de integración difieren en un múltiplo constante, basta con compararlos en un único $n$ -forma $\omega$ con integral distinta de cero. Elige $\omega$ apoyarse en el interior de $\sigma_1$ tal que $\int_{\Delta^n} \sigma_1^*(\omega)=1$ . Entonces tenemos $\int_{\Delta^n} \sigma_i^*(\omega)=0$ para $i\neq 1$ por lo que su segunda integral envía $\omega$ a $1$ .

Ahora calculamos $\int_M \omega$ como sigue. Obsérvese que $\sigma_1$ es un gráfico liso orientado de $M$ cuando se restringe al interior de $\Delta^n$ . Ahora podemos construir una partición de la unidad en $M$ subordinado a un recubrimiento por cartas orientadas que tiene como una de sus funciones una función de choque $f$ apoyado en el interior de $\sigma_1$ que es $1$ con todo el apoyo de $\omega$ . Cuando calculemos $\int_M\omega$ utilizando esta partición de la unidad, todos los términos desaparecen excepto el correspondiente a $f$ ya que $f$ es el único que no desaparece en el soporte de $\omega$ . Por definición, tenemos $$\int_M\omega=\int_{\Delta^n}\sigma_i^*(f\omega)=\int_{\Delta^n}\sigma_i^*(\omega)=1.$$ Así, ambas integrales envían $\omega$ a $1$ por lo que son iguales.