Qué $a!b!$ siempre divida $(a+b)!$

Question

Hola la pregunta es como se indicó anteriormente y se nos da en el contexto de la teoría de grupo, específicamente bajo el título de isomorfismo y productos. Yo iba a escribir lo que he probado hasta ahora, pero he avanzado muy poco en el intento de resolver este durante las últimas horas!

Answer 1

Sugerencia: busque un inyectiva grupo homomorphism $S_a \times S_b \hookrightarrow S_{a+b}$.

Answer 2

Una prueba basada en el binomio de recurrencia: $\frac{(a+b)!}{a!b!} ( =\binom{a+b}{a}) =: f(a,b)$ cumple con la siguiente periodicidad:

$f(a,b) = f(a-1,b) + f(a,b-1), \quad a>0,b>0$

con los valores de partida

$f(a,0) = f(0,a) = 1, \quad a \ge 0$

así que por inducción que para todo entero no negativo, los valores de $a,b$ la función de $f(a,b)=\frac{(a+b)!}{a!b!}$ es un valor entero.

Answer 3

Una prueba basada en la descomposición en factores primos:

Vamos $e(N,p)$, $p$ un primo, de ser el exponente de $p$ en la factorización prima de $N$. A continuación mostramos:

Para todos los números primos $p$: $e(a!,p)+e(b!,p) \le e((a+b)!,p)$.

Tenemos

$e(n!,p) = [\frac{n}{p}] + [\frac{n}{p^2}] + \cdots, \quad$ donde $[r]$ es el entero más grande $\le r$.

También tenemos

$[\frac{a}{k}] + [\frac{b}{k}] \le [\frac{a+b}{k}] \quad$ para cualesquiera enteros positivos $a,b,k$.

A partir de estas dos proposiciones de la demanda de la siguiente manera directa.