Me dan la función de densidad $$f(y_1, y_2) = \begin{cases}6(1-y_2), & 0\le y_1\le y_2 \le 1,\\ 0, & \text{elswhere.} \end{cases} $$ y pidió encontrar $P(Y_1 \le 3/4, Y_2 \ge 1/2)$ que el manual de soluciones dice que es $$P(Y_1 \le 3/4, Y_2 \ge 1/2)=\int_{1/2}^{1}\int_{1/2}^{1}6(1-y_2)dy_1dy_2 + \int_{1/2}^{3/4}\int_{y_1}^{1}6(1-y_2)dy_2dy_1 = \frac{31}{64}$$
¿podría alguien explicarme por qué ocurre esto? ¿Cómo determinaron dividir así las integrales? Gracias.
El primer par de límites es incorrecto.
La región sombreada es la parte en la que la función de densidad es positiva, y la región más oscura es la región de integración.
Así que debería ser
$$ \int_0^{1/2}\int_{1/2}^1f(y_1,y_2)\,dy_2dy_1+\int_{1/2}^{3/4}\int_{y_1}^1f(y_1,y_2)\,dy_2dy_1 $$
ADENDA: Debería volver a comprobar mis resultados, pero tengo $\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{64}=\dfrac{55}{64}$
¡UY! He vuelto a comprobarlo, es $\dfrac{3}{8}+\dfrac{7}{64}=\dfrac{31}{64}$ así que sospecho que tu libro de respuestas se ha equivocado accidentalmente con los dos primeros límites de integración, ya que la respuesta numérica es correcta.
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