¿Es posible resolver un problema (sencillo) que incluya residuos con álgebra básica?

Question

Un niño de ocho años (tercer curso) me contó el "problema más difícil" que tuvieron que resolver ayer en su examen de matemáticas. Esta es la pregunta:

Hay un número menor que 40, que al dividirlo por 5 deja un resto de 3, y al dividirlo por 6 deja un resto de 2.

Estaba muy orgulloso de haberlo resuelto él mismo :)

Inmediatamente pensé que sería una buena manera de iniciarle en el álgebra simple, pero cuando llegamos a casa, me di cuenta de que no se me ocurría cómo expresar el problema.

Mis pensamientos iban en la línea de:

z = 5x + 3
z = 6y + 2

Pero entonces, ¿qué se puede hacer con

5x + 3 = 6y + 2

excepto para alcanzar

y = (5x + 1) / 6

y tengo la sensación de que voy por un camino horriblemente equivocado.

¿Existe una forma "sencilla" de resolver este problema con álgebra?

Answer 1

Cuando escriba $y = (5x + 1) / 6$ tu mal presentimiento está justificado, porque podrías introducir un valor entero para $x$ y obtener un valor no entero para $y$ . ¡Un desastre!

Un truco consiste en evitar cualquier valor no entero multiplicando todos los coeficientes de valores arbitrarios hasta el mínimo común múltiplo. Por ejemplo, con

$$d = 5x + 3$$ $$d = 6y + 2$$

tienes números arbitrarios $x$ y $y$ en su solución, relacionados a través de $d$ . Sus coeficientes son $5$ y $6$ con el mínimo común múltiplo $30$ así que si multiplicamos..:

$$6d = 30x + 18$$ $$5d = 30y + 10$$

puedes restar uno del otro para obtener

$$d = 30(x-y) + 8$$

que es válido para todos los valores enteros de $x$ y $y$ por lo que podemos escribirlas como una única variable:

$$d = 30m + 8$$

de donde se ve fácilmente que 8, 38, 68, 98... son todas soluciones, y las comprendidas entre 0 y 40 son 8 y 38.

Answer 2

$5x = 6y-1 = 6(y-1)+6-1 = 6(y-1)+5$ . Por lo tanto $y-1$ es múltiplo de $5$ , $y=5t+1$ , $x=6t+1$ y por último $z=30t+8$ . Si $z<40$ entonces $t=0$ y $t=1$ trabajar y dar $z=8$ y $z=38$ .

Lo difícil es concluir a partir de $5x-5=6(y-1)$ que $y-1$ es múltiplo de $5$ . Esto ya no es álgebra...

En el caso más general, $z=5x+a=6y+b$ puede proceder del siguiente modo (que difiere de la solución ad hoc anterior): $6y+b=5x+a=6x-x+a$ y así 6 divide a $x-a+b$ y así $x=6t+a-b$ . El resto es similar.