Sea $G$ sea un grupo topológico tal que para cada $x \in G$ la cartografía $x\mapsto xy$ es un homeomorfismo. Si $H$ es un subgrupo abierto de $G$ demuestre que $H$ también está cerrado
¿Podría alguien dar una pista para este?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sólo tenemos que demostrar que el complemento $G \setminus H$ está abierto, así que toma $y \in G \setminus H$ . Tenga en cuenta que $Hy = \{ xy : x \in H \}$ es una vecindad abierta de $y$ (ya que $1 \in H$ y la correspondencia $x \mapsto xy$ envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos). Este conjunto también es disjunto de $H$ ya que dado $x \in H$ si $xy \in H$ entonces $y = x^{-1}(xy) \in H$ que es falsa por suposición).
Shery
Puntos
16
En un grupo topológico la multiplicación de grupos es por definición continua (y por tanto las traslaciones son homeomorfismos). Probablemente estás intentando decir que si $G$ es un grupo con topología tal que las traslaciones a la derecha son homeomorfismos, entonces cualquier subgrupo abierto es también cerrado.
Para demostrarlo, observe que $H$ es cerrado si su complemento es abierto, lo que se puede escribir explícitamente utilizando las operaciones de grupo.
