¿Cómo puedo encontrar las soluciones enteras de $x^2+x-2y^2=0$ ?

Question

Introduzco esta ecuación en Wolfram Alpha : $x^2+x-2y^2=0$ y me dio algo como esto :

y me pregunto cómo se encuentra esta solución y cómo saber si una ecuación dada garantiza tener solución entera.

¿Alguien puede enseñarme qué hay detrás del capó?

Gracias.

Answer 1

Pista:
Reescribe la ecuación: $x^2+x=2y^2$ es decir $$x(x+1)=2y^2$$ Observe que $(x,x+1)=1$ por lo que podemos escribir $y^2$ como $2a^2b^2$ Aquí $(a,b)=1$ y $2\nmid b$ .
Entonces obtenemos $$\left\{\begin{array}\\x=2a^2\\x+1=b^2\end{array}\right.\text{ or }\left\{\begin{array}\\x+1=2a^2\\x=b^2\end{array}\right.$$ Por lo tanto, $$b^2-2a^2=\pm 1$$ Así que tenemos dos Ecuación pell-like s. ¿Y sabes lo que pasa entonces?

Answer 2

$$8y^2=4x^2+4x=(2x+1)^2-1\implies z^2-8y^2=1\text{ where } z=2x+1$$

Utilizando este ,

$$z_k\pm2\sqrt2y_k=(z_1\pm2\sqrt2\cdot y_1)^k$$

Por observación, $z_1=\pm3,y_1=\pm1$ como $z^2-8y^2=1=3^2-8\cdot1$

Si tomamos $z_1=3,y_1=1$ $$z_k+2\sqrt2y_k=(3+2\sqrt2)^k \text{ and } z_k-2\sqrt2y_k=(3-2\sqrt2)^k$$

Resuelva ahora $z_k,y_k$

Del mismo modo, para las demás combinaciones

$z_1=-3,y_1=-1$

$z_1=3,y_1=-1$

et $z_1=-3,y_1=1$

A partir de la relación de recurrencia en Wikipedia si $x_1,y_1,x_k,y_k$ son números enteros, también lo serán $x_{k+1},y_{k+1}$

Answer 3

Ampliando la respuesta de @lab bhattacharjee:

z^2 = 8.y^2 + 1 nos da la ecuación de la forma x^2 = N.y^2 + 1

que puede hacerse de forma sencilla https://en.wikipedia.org/wiki/Chakravala_method .

comenzó en el siglo VI d.C. en la India