Dado $n$ puntos, la diferencia de $2$ de ellos es $1/n$ cerca de un número entero

Question

Del examen de matemáticas D de la ENS Ulm de hoy

Dejemos que $x_1,\ldots,x_n$ sean números reales

Demostrar que existe $i\neq j $ y $h\in \mathbb Z$ tal que $|x_i-x_j-h|\leq \frac{1}{n}$

Intenté la contradicción y el principio de encasillamiento durante 45 minutos, sin éxito.

Answer 1

Este problema es "isomorfo" al que tiene el $n$ puntos en un círculo y debe demostrar que dos de ellos están tan cerca como $1/n$ entre sí. Esto se debe a que se puede quitar un número entero de $x_i - x_j$ para que siempre caiga en $[0, 1]$ y el cero y el uno son idénticos.

Answer 2

Utilizar el principio de (como) encasillamiento

Supongamos que cada $x_i=\epsilon_i+h_i$ con $h_i \in \Bbb Z$ y $\epsilon_i\in [0,1]$ y asumir que (podemos encontrar un orden creciente para $\epsilon_i$ ): $$0\leq \epsilon_1\leq \epsilon_2\leq \cdots \leq \epsilon _n<1$$

si para cada $i$ tenemos $\epsilon_{i+1}-\epsilon_i>\frac{1}{n}$ toma $(i,j)=(1,n)$

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También se puede ver el problema en otra dirección, tomar $t_i=\epsilon_{i+1}-\epsilon_i$ para $i\leq n-1$ y $t_{n+1}=1-\epsilon_n+\epsilon_1$ tenemos para todos $t_i\geq 0$ y: $$ t_1+\cdots+t_n=1$$ por lo que existe $i$ tal que $t_i\leq \frac{1}{n}$