Intuición (geométrica o de otro tipo) para $Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) + 2 \ Cov(X, Y)$

Question

¿Hay alguna forma de entender esta fórmula intuitivamente?

Lo rederivé algebraicamente (me llevó un rato...), lo que me alegró porque antes era incapaz de hacer ese tipo de cosas, pero sigo sin tener intuición para ello.

La intuición geométrica sería lo mejor, pero cualquier cosa es muy bienvenida.

Answer 1

1. Una forma más matemática

La varianza de dos variables, X e Y, puede explicarse separándola en cuatro secciones: cómo varía X de forma independiente, cómo varía Y de forma independiente, cómo varía X debido a cambios en Y y cómo varía Y debido a cambios en X. Esencialmente, todos los cambios en X e Y tienen que estar causados por una de estas cuatro cosas.

Eso nos da:

$Var(X) + Var(Y) + Cov(X,Y) + Cov(Y,X)$

que puede simplificarse, ya que $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$ dentro:

$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$

2. No de forma matemática

Esto es una simplificación excesiva y no es matemáticamente correcto, pero me ayudó a recordar.

Consideremos la ecuación algebraica, mucho más sencilla:

$(X+Y)^2=X^2+Y^2+2XY$

Considera también que:

$Var(X)=\sigma^2(X)$

Así que..:

$[\sigma(X+Y)]^2=[\sigma(X)]^2+[\sigma(Y)]^2+2[\sigma(X)\sigma(Y)]$