Comprender la regla de la cadena en la teoría de la probabilidad

Question

Cuando mi profesor nos habló de la regla de la cadena, me pareció bastante fácil, pero cuando intento demostrar algo basándome en esta regla, me confundo un poco sobre cuáles son las formas permitidas de esta regla. Por ejemplo, no entiendo por qué puedo decir:

$$ p(x,y\mid z)=p(y\mid z)p(x\mid y,z) $$

¡No puedo entender cómo se puede llegar a esta ecuación a partir de la regla general! ¿Pueden por favor ayudarme a pensar correctamente sobre esta regla?

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Este post me ha resultado útil para mi pregunta:

¿Es importante el orden de las variables en la regla de la cadena de probabilidad?

Answer 1

$$p(x,y|z) = \frac{p(x,y,z)}{p(z)} = \frac{p(x|y,z)p(y,z)}{p(z)} = p(x|y,z)p(y|z)$$

En el primer paso utilizamos la definición de probabilidad condicional. En el segundo paso utilizamos la misma definición en el numerador para convertir la probabilidad conjunta $p(x,y,z)$ en una condicional $p(x|y,z)$ y un conjunto $p(y,z)$ . Por último, dividimos $p(y,z)$ por $p(z)$ aplicando de nuevo la definición de probabilidad condicional, y obtenemos el resultado.

Otra forma de verlo es que puedes ignorar las variables que siempre están a la derecha del signo condicional. En ese caso, la expresión es simplemente la probabilidad condicional habitual:

$$p(x,y) = p(x|y)p(y)$$

Simplemente condicionas todas estas probabilidades a $z$ y obtienes tu fórmula original.