Si $(f_n)$ converge puntualmente en $[-1,1]$ a $f$ y converge uniformemente en $[-r,r]$ para cada $r \in (0,1)$ ¿se deduce que la convergencia es uniforme en $[-1,1]$ ? También $f$ es continua y todos $f_n$ son continuas.
Estoy atascado en este, creo que se supone que es fácil. Supongo que es falso, pero no puedo encontrar un contraejemplo. Lo más cerca que puedo llegar es $\sum x^n$ pero no converge puntualmente en el punto final $-1$ y $1$ . ¿Alguna pista?
Está claro que si una sucesión de funciones continuas converge puntualmente a una función discontinua, entonces la convergencia no es uniforme (ya que los límites uniformes de las funciones continuas son continuos). También es fácil construir ejemplos de sucesiones de funciones continuas que convergen puntualmente pero no uniformemente a una función continua si el dominio de las funciones no es compacto. (Si el dominio no es acotado, puede ocurrir algo como $\frac{1}{n}\cdot x$ funciona, si el dominio es acotado pero no cerrado, una adaptación de $x^n$ en $[0,1)$ obras).
En dominios compactos, no es tan obvio cómo se podría construir un ejemplo así, aunque, como veremos, no es difícil construir ejemplos en intervalos compactos. No obstante, Teorema de Dini demuestra que hay que tener cierto cuidado.
El ejemplo clásico de una secuencia de funciones continuas que converge puntualmente pero no uniformemente a una función continua consiste en funciones que son $0$ en todas partes, salvo un pico triangular de altura constante (o incluso creciente) que se estrecha y se desplaza hacia uno de los extremos del intervalo. A menudo, uno de los extremos de la base del triángulo se mantiene fijo. Hagamos una construcción un poco más general.
Consideremos una función continua $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $g(0) = 0$ y $\lim\limits_{\lvert x\rvert \to \infty} g(x) = 0$ . Ejemplos de estas funciones son $g(x) = \frac{x}{1+x^2}$ ou
$$g(x) = \begin{cases}\quad x &, 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 2-x &, 1 \leqslant x \leqslant 2 \\ \quad 0 &, x < 0 \lor x > 2.\end{cases}$$
Este último conduce a la espiga triangular. Entonces, para $n \in \mathbb{N}$ defina $g_n(x) = g(n\cdot x)$ . Las condiciones sobre $g$ garantizar que $(g_n)$ es una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente a $0$ y, por tanto, a una función continua, y la convergencia es uniforme en $\mathbb{R} \setminus (-\varepsilon,+\varepsilon)$ para cada $\varepsilon > 0$ . Pero tenemos $g_n(\mathbb{R}) = g(\mathbb{R})$ para cada $n > 0$ por lo que la convergencia no es uniforme en $\mathbb{R}$ ni en ningún barrio de $0$ a menos que $g \equiv 0$ .
En este caso, queremos una secuencia de funciones continuas que converja uniformemente en $[-r,r]$ para cada $r \in (0,1)$ y puntualmente pero no uniformemente en $[-1,1]$ . Para ello, desplazamos el punto crítico de la construcción de $0$ a $-1$ mediante una traducción, y definir $f_n(x) = g_n(x+1)$ para $x\in [-1,1]$ . Para ambas funciones explícitamente dadas $g$ esta construcción cumple los requisitos.
En su pregunta, usted mencionó que miró a $\sum x^n$ . Las series de potencias no pueden dar ejemplos con las propiedades deseadas, ya que si una serie de potencias converge en ambos extremos de un intervalo, converge uniformemente en todo el intervalo compacto .
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