¿La lagrangiana de un campo de Dirac sin masa es una derivada total?

Question

Me he confundido sobre un punto bastante trivial. Podría escribir el Lagrangiano de la ecuación de Dirac como

$\cal L = {\rm i}/2 \left( \bar \psi \gamma^\nu \partial_\nu \psi + {\rm cc} \right)$

que, por lo que sé, es lo mismo que

${\rm i}/2 \left( \partial_\nu (\bar \psi \gamma^\nu \psi) \right) $

Por lo tanto, suponiendo que la corriente desaparece suficientemente rápido en el infinito, la integral de volumen debería desaparecer siempre, independientemente de lo que $\psi$ es. Pero no puede ser, porque eso significaría que, según el principio de mínima acción, literalmente todas las funciones de onda serían soluciones (y además todas serían estables bajo variación).

Answer 1

Tu Lagrangiano no tiene valor real. De hecho, ¡tiene valor imaginario! El término entre paréntesis tiene valor real cuando se multiplica por $i$ es de valor imaginario.

El Lagrangiano correcto debería ser $$\mathcal{L} = \frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi + {\rm cc} = \frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - \frac{i}{2}\partial_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi = i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - i\partial_{\mu} (\bar{\psi}\gamma\psi)$$ Si despreciamos la divergencia total, tenemos $$\mathcal{L} = i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi$$ Esta es la forma más común del Lagrangiano del campo de Dirac en la mayoría de los libros de texto.

Answer 2

El lagrangiano de Dirac sólo contiene el primer término sin conjugado complejo, por lo que no se puede integrar por partes y obtener SÓLO una derivada total.

Si añades el conjugado complejo, no estás trabajando con el Lagrangiano de Dirac.

Edición: El lagrangiano no tiene por qué tener valor real, de todas formas tiene valor de operador. Lo importante es que el lagrangiano es hermitiano, por lo que todos los observables son de valor real.

No olvides la i en el lagrangiano, cuando añades el conjugado complejo no creo que puedas integrar por partes para obtener una derivada total sola. Ten cuidado con el conjugado complejo.