$S$ es convexa y compacta (prueba)

Question

Supongamos el conjunto: $$ S = \left\{ (x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3 : y = z, \, x^2 +2y^2 \leq 1 \right\} $$ ¿Cómo demostramos que es convexo y compacto ?

Mi intento:

• Convexidad:

Sea $a \in [0,1]$ y asumir $ax + (1-a)w$ . Para $S$ para ser convexo debemos tener: $$ ax + (1-a)w \in S $$ pero cada vez que intento sustituir este punto en las ecuaciones del conjunto, no puedo obtener un resultado directo.

• Compactibilidad:

Obviamente, $S$ es la intersección de un cilindro elíptico y un plano, por lo que es delimitado y cerrado y, por tanto, compacta.

Pregunta: ¿Existe una elaboración similar basada en la geometría de $S$ para demostrar la convexidad?

Answer 1

La sugerencia de Tony en los comentarios es acertada: la intersección de conjuntos convexos es convexa:

Si $C=\cap_{i \in I} C_i$ todos $C_i$ convexo, entonces si $x,y \in C$ para cada $t \in [0,1]$ y cada $i$ , $x,y \in C_i$ así que $tx + (1-t)y \in C_i$ y como $i$ era arbitraria, $tx+(1-t)y \in C$ .

Y el avión $P=\{(x,y,z) \in \Bbb R^3\mid y=z\}$ es claramente convexo, incluso un subespacio lineal.

Y el ciclón elíptico $E=\{(x,y,z) \in \Bbb R^3\mid x^2+2y^2 \le 1\}$ también es convexa; una demostración algebraica no es demasiado difícil.

Así que $P \cap E$ su conjunto de interés, es efectivamente convexo.

La cerrazón es el mismo argumento: un plano es cerrado en $\Bbb R^3$ y también $E$ como $f^{-1}[\{0\}]$ para $f(x,y,z)= y-z$ o $f^{-1}[(-\infty,1]]$ para $f(x,y,z)=x^2+2y^2$ resp., ambos continuos.

$P$ y $E$ son ambas no acotadas, pero su intersección es acotada: si $(x,y,z) \in P \cap E$ entonces $x^2+y^2+z^2 = x^2 + 2y^2\le 1$ (como $y=z$ de estar en $P$ y la última de estar en $E$ .) Así que $\|p\|\le 1$ para todos los puntos $p \in P \cap E$ . A continuación, utilice Heine-Borel en $\Bbb R^3$ para concluir que es compacto.