¿Qué es la división de vectores?

Question

Mi pregunta es: Tenemos la suma, resta y multiplicación de vectores. ¿Por qué no podemos definir la división de vectores? ¿Qué es la división de vectores?

Answer 1

Como ya se mencionó en los comentarios, tienes dos formas de "multiplicar" vectores. Tienes el producto punto y el producto cruz. Sin embargo, el producto punto no es un producto.

Cuando multiplicas dos números racionales, obtienes un número racional. Cuando multiplicas dos matrices, obtienes una matriz. Cuando multiplicas dos números complejos, obtienes un número complejo. Entonces querrías que tu producto satisfaga que la multiplicación de dos vectores dé como resultado un nuevo vector. Sin embargo, el producto punto de dos vectores da un escalar (un número) y no un vector.

Pero sí tienes el producto cruz. El producto cruz de dos vectores (en 3 dimensiones) es de hecho un nuevo vector. Por lo tanto, realmente tienes un producto. Aún así, es un poco extraño en el sentido de que no es conmutativo. $\vec{x}\times\vec{y}$ no es lo mismo que $\vec{y}\times\vec{x}$. $\vec{x}\times\vec{y}$ = -$\vec{y}\times\vec{x}$

Ahora en cuanto a la división. Si tienes dos números reales $x$ y $y\neq 0$, decimos que $\frac{x}{y} = z$ exactamente cuando $x = yz$. Entonces, en ese sentido podrías definir un tipo de división de vectores.

Sin embargo, nuevamente hay algunos problemas con los vectores. Cuando dividimos por un número real $y$, también podemos considerarlo como multiplicar por el inverso de $y$, es decir, $y^{-1}$. El inverso de $y$ es ese número único $y^{-1}$ tal que $yy^{-1} = 1$. El número $1$ es ese número "especial" que satisface que $1x = x$ para todos los números reales $x$. Y puedes ver que cualquier número (distinto de cero) dividido es $1$. La pregunta es: ¿cuál sería el equivalente de $1$ para vectores?

Con vectores, no tienes una "unidad" de ese tipo. No existe un vector $\vec{1}$ tal que el producto cruz de $\vec{1}$ con cualquier otro vector $\vec{x}$ sea $\vec{x}$, es decir, $\vec{1}\times \vec{x} = \vec{x}$.

Por lo tanto, es por eso que realmente no tenemos una división de vectores que "funcione" de la misma manera que lo hace la división de números reales.

Answer 2

Puedes definir la división de vectores, pero como la multiplicación y la división son operaciones relacionadas, solo puedes hacerlo eligiendo una definición de multiplicación que lo permita.

Como se ha señalado, en álgebra de vectores típicamente solo definimos los productos punto y cruz. Para dos vectores $a$ y $b$, el producto punto $a\cdot b$ nos dice cuánto están paralelos los dos vectores. El producto cruz $a \times b$ nos dice qué tan perpendiculares son los vectores y, además, nos dice algo sobre su orientación relativa, acerca del plano en el que se encuentran los dos vectores. Te afirmo sin demostrar que los productos punto y cruz contienen toda la información relevante posible de dos vectores. En otras palabras, si se conoce $a$ y $a \cdot b$ y $a \times b$, entonces se puede reconstruir $b$.

De hecho, la fórmula para hacerlo es algo así como

$$b = (a \cdot b) a/|a|^2 + (a \times b) \times a/|a|^2$$

Debería resultar intuitivo que $a/|a|^2$ de alguna manera "deshace" estos dos productos. Si hubiera un candidato para $a^{-1}$, entonces $a/|a|^2$ sería ese.

Pero, ¿cómo podemos hacer esto de una manera formalizada? La respuesta es definir un nuevo producto, uno que combine las propiedades de los productos punto y cruz en una sola operación. Esta operación se llama el producto geométrico.

Sea $e_1, e_2, \ldots, e_n$ una base ortonormal para $\mathbb R^n$. El producto geométrico de vectores se define de la siguiente manera:

$$e_i e_j = \begin{cases} 1, & i = j \\ -e_j e_i, & i \neq j\end{cases}$$

Cuando dos vectores base son iguales y se multiplican mediante el producto geométrico, el resultado es un escalar, capturando así el comportamiento del producto punto. Cuando los dos vectores base son ortogonales, el resultado es antisimétrico, capturando el comportamiento del producto cruz. Es importante tener en cuenta, sin embargo, que esta parte antisimétrica no resulta en un vector, sino en un nuevo objeto que llamamos un bivector. Piénsalo como un subespacio plano orientado, al igual que los vectores son subespacios orientados de manera lineal a través de $\mathbb R^n$.

El producto geométrico es lineal en sus argumentos, por lo que podemos encontrar el producto geométrico de $a$ y $b$ simplemente descomponiéndolos en componentes. Además, el producto geométrico es asociativo, por lo que podemos encontrar $ab$ y luego multiplicar (ya sea a la izquierda o a la derecha) por otro vector $c$, y así sucesivamente. Por ahora, sin embargo, podemos limitarnos al caso de dos vectores. El producto geométrico se escribe a menudo como

$$ab = a \cdot b + a \wedge b$$

Esta cuña evita elegantemente un problema con el producto cruz: no existe en dimensiones fuera de 3 o 7. La cuña (que produce la parte bivector ya mencionada) sí existe en cualquier número de dimensiones.

Entonces, el producto geométrico admite inversos multiplicativos (esencialmente, división). Observa que $aa^{-1} = 1 \implies a^{-1} = a/a^2$, tal como observé antes. Debido a que el producto geométrico es asociativo, tiene sentido decir que

$$a^{-1} a b = (a^{-1} a) b = \frac{1}{a^2}aab = \frac{a^2}{a^2} b = b$$

mientras que, por otro lado, la asociatividad nos da la libertad de agrupar los productos de manera diferente, como sigue:

$$b=a^{-1} a b = a^{-1} (ab) = a^{-1} (a \cdot b + a \wedge b) = \frac{1}{a^2} [a(a \cdot b) + a (a \wedge b)]$$

lo cual es simplemente la forma algebraica geométrica de la descomposición que escribí anteriormente. Aquí, se sigue simplemente de la libertad de agrupar productos como se desee. Esta es una técnica poderosa en álgebra geométrica, útil para demostrar muchas identidades (incluso hasta cálculo vectorial y más allá).

Más allá de todo eso, ¿cuál es el producto de dos vectores entonces, bajo el producto geométrico? Es un escalar y un bivector, como ya hemos establecido. Un nombre para el conjunto de tales objetos es espinores. Los espinores son útiles para representar rotaciones, y de hecho, el producto $ab$ nos da un espinor correspondiente a una rotación desde $b$ hacia la dirección de $a$. En 2 dimensiones, dichos espinores tienen solo dos componentes, y estas corresponden a números complejos. En 3 dimensiones, dichos espinores tienen 4 componentes (1 escalar, 3 bivectorios, uno por cada uno de los 3 planos en el espacio tridimensional), y estos espinores corresponden a cuaterniones y así sucesivamente. Así, el producto geométrico proporciona una gran comprensión de la naturaleza de las rotaciones y cómo se pueden construir a partir de vectores.

Answer 3

Dado cualquier vector $b$, puedes encontrar algunos $c, d$ no nulos con $b \cdot c = 0$ y $b \times d = 0$ (simplemente toma $c$ perpendicular a $b$ y $d$ paralelo).

Decir que $x=a / b$, donde $/$ es una operación de división que corresponde al producto punto, debería ser equivalente a decir que $a = b \cdot x. Pero si esto es cierto, entonces también $a = b \cdot (x+c)$ donde $b \cdot c=0$, así que también deberíamos decir que $x+c=a/b$. Es decir, la "división de producto punto" nunca está definida de manera única, sin importar la elección de $a$ y $b$. Entonces no es realmente un concepto útil. Comentarios similares se aplican a la "división de producto cruz" - solo reemplace $c$ por $d$.

Por otro lado, existe (de alguna manera) una definición de división de vectores basada en la multiplicación escalar: si $a$ y $b$ son vectores paralelos, entonces puedes dividir $a$ por $b$ para obtener un número real. Por supuesto, esto no está definido para pares generales de vectores. Pero es único siempre que exista, lo que significa que ocasionalmente es un concepto útil...

Answer 4

Deja que el vector $A = 2i+4j+8k$ y el vector B sea desconocido, pero el producto cruz $C= 4i+6j+16k$

Deja que $B=xi+yj+zk$

$(2i+4j+8k)(xi+yj+zk)=4i+8j+16k$

$(4z-8y)i+(2z+8x)j+(2y-4x)k=4i+8j+16k$

$z-2y=1$ da $z=1+2y$

$z+4x=4$ da $2y+4x=3$

$y-2x=8$

Al resolver esas ecuaciones $y=\frac{19}{4}$, entonces $x= -\frac{23}{8}$ y $z=\frac{21}{2}$ y el vector $B= (-23/4)i+(19/4)j+(21/2)k$

Answer 5

$ a/b = D^{-1}.a $ , donde D es la matriz diagonal con $ D_{ij} = \delta_{ij}b_i $. Esta operación produce un vector cuyas entradas son las divisiones de las entradas correspondientes de a y b.