Parece que hay varios puntos de confusión aquí, así que permítanme ignorar sus preguntas por ahora y empezar desde el principio.
Los valores propios de una matriz $A$ se definen como el conjunto de valores $\lambda$ para la que la matriz $A-\lambda I$ es singular. Dicho de otro modo, los valores propios de la matriz $A$ son el conjunto de valores $\lambda$ para lo cual $$p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = 0$$ La expresión $\det(A-\lambda I)$ se denomina polinomio característico de $A$ y los valores propios se definen como las raíces de este polinomio. En general, el polinomio característico de un $n\times n$ es una matriz $n$ lo que significa que habrá (como máximo) $n$ raíces del polinomio. El conjunto de valores propios es lo que llamamos el espectro de $A$ . El espectro es el conjunto de valores que aparecen en la diagonal de su matriz diagonal. Estos valores son únicos pero sólo hasta pedir .
Permítame ahora responder a su pregunta: "¿Son únicos los valores propios de una matriz?" Bueno, eso es un poco difícil de responder porque la pregunta no está bien formulada. Si una matriz tiene $n$ distinto valores propios, ¿consideraría que cada valor propio es único (en el sentido de multiplicidad uno)? Si una matriz tiene un único valor propio de multiplicidad $n$ ¿lo consideraría único?
En cualquier caso, la respuesta a su pregunta sería no. Una matriz no tiene necesariamente valores propios distintos (aunque casi todos ), y una matriz no tiene necesariamente un único valor propio con multipicidad $n$ . De hecho, dado cualquier conjunto de $n$ se puede construir una matriz con esos valores como valores propios (de hecho, basta con tomar la matriz diagonal correspondiente).
Pasemos ahora a los vectores propios. Para cada valor propio $\lambda$ existe un subespacio de vectores $E_\lambda$ que satisface la ecuación $$A\mathbb{v} = \lambda\mathbb{v}$$ para $\mathbb{v}\in E_\lambda$ . Ahora bien eigen espacio $E_\lambda$ es único, pero los vectores del espacio, los eigen vectores son no único. Es análogo al hecho de que se puede hablar de que hay un único $x$ - eje pero no tiene sentido hablar de un único punto en el $x$ -Eje.
Qué es cierto es que los eigenespacios de diferentes eigenvalores son independientes, por lo que los eigenvectores de diferentes eigenvalores son linealmente independientes. Cuando tu matriz es diagonalizable, la colección (o suma directa si estás familiarizado con el término) de estos eigenespacios es todo tu espacio vectorial. Esto significa que existe una base únicamente de vectores propios y que tu matriz $S$ se forma a partir de una base de vectores propios como sus columnas. Por supuesto, cada eigenespacio es en realidad un subespacio, por lo que las combinaciones lineales de eigenvectores siguen siendo eigenectores. Por eso puede multiplicar sus vectores propios por múltiplos escalares y que sigan siendo vectores propios. De hecho, usted es libre de elegir cualquier base para el eigenespacio y su matriz $S$ se modificarán en consecuencia.
