Determinar el límite $\lim_{h\to0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{(x+h)^{1/2} - x^{1/2}}$

Question

Determina el límite:

$$\lim_{h\to0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{(x+h)^{1/2} - x^{1/2}}$$

Después de tomar el conjugado, obtuve:

$$\lim_{h\to 0} \frac{\big(\cos(x+h) - \cos(x)\big)\big((x+h)^{1/2} + x^{1/2})\big)} h$$

Tomé el conjugado de esto, pero no veo cómo puedo cancelar el $h$ .

¿Algún consejo?

Answer 1

Pista:

Se supone que debes detectar derivados aquí. Escribe tu cociente como

$$\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\cdot\frac{h}{(x+h)^{1/2}-x^{1/2}}$$

Answer 2

\begin{align} & \lim_{h\to0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{(x+h)^{1/2} - x^{1/2}} = \frac{\lim_{h\to0} \Big(\cos(x+h) - \cos x\Big) / h}{\lim_{h\to0} \Big( (x+h)^{1/2} - x^{1/2} \Big) / h} = \frac{\dfrac d {dx} \cos x }{\dfrac d {dx} x^{1/2}} = \cdots\cdots \end{align}

Answer 3

Más sencillo $$\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{(x+h)^{1/2} - x^{1/2}}\times\frac{(x+h)^{1/2} + x^{1/2}}{(x+h)^{1/2} + x^{1/2}}=\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}[(x+h)^{1/2} + x^{1/2}]$$

Answer 4

Sugerencia :

$$\dfrac1{\sqrt{x+h}-\sqrt x}=\dfrac{x+h-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt x}=?$$

y Uso Fórmulas de prostoaféresis $$\cos(x+h)-\cos x=-2\sin\dfrac h2\sin\dfrac{2x+h}2$$

Por fin, $\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}u=1$