Forma general, propiedades
Un formulario Lindblad $$\dot \rho = -i[\eta, \rho] + A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A$$ tiene tres propiedades importantes:
- Sigue siendo dinámica lineal, en términos de $\rho$ .
- Está libre de trazas independientemente de la traza de $\rho$ . Esto significa que la suma total de los valores propios, que empieza siendo 1, no cambia.
- Deja $\dot\rho$ Hermitiano, lo cual es importante porque sólo los operadores hermitianos tienen valores propios totalmente reales.
- Suele haber algunos criterios sencillos sobre $\hat A$ que ya no recuerdo, que aseguran la positividad de la Lindbladiana, por lo que nunca lleva los eigenvalores positivos a negativos.
Su significado físico general es, por tanto, "dinámica no unitaria que, no obstante, puede modelarse sin masacrar nuestra matriz de estados".
Una interpretación a la que siempre se puede recurrir
Si no le satisface esta definición, el proceso no unitario más común en mecánica cuántica es medición así que déjame mostrarte cómo puedes interpretar cualquier Forma Lindblad como medición cuántica continua . Se trata de un [1] [2] manera de considerar tomar algunas $\rho$ con una dinámica por lo demás unitaria y acoplándola a una medición continua del sistema.
Una medición simple se parece a esto: traemos algún qubit con energía Hamiltoniana $\epsilon ~c^\dagger c$ al sistema, ponerlo en su estado de reposo $|0\rangle\langle 0|$ que podemos escribir como $c c^\dagger$ para abreviar. Supondremos que el qubit, sea lo que sea, conmuta con todos los operadores, etc. que actúan sobre el "sistema". $\rho$ . El qubit se acopla entonces al sistema con algún término de interacción $\hat v^\dagger c^\dagger + \hat v c$ extremadamente genérico.
Durante un tiempo $dt/2$ el sistema evolucionará entonces como $$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~\frac{dt}2\left([\eta, \rho] ~ c c^\dagger + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c\right) $$ El único problema aquí es que estos últimos términos están todavía un poco "en el pasado"; así que vamos a evolucionar cada uno de esos términos $\rho c$ y $\rho c^\dagger$ adelante otro $dt/2$ para encontrar un efecto de segundo orden: $$\begin{align} \rho ~c^\dagger \mapsto& \rho ~ c^\dagger - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c^\dagger + \hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c\right)\\ \rho ~c \mapsto& \rho ~ c - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger\right) \end{align}$$ Entonces lo medimos en el qubit's $|0\rangle, |1\rangle$ base y descartar la medición . Esto colapsa el qubit a $|0\rangle$ o $|1\rangle$ y, por tanto, la $|0\rangle\langle 1| = c$ y $|1\rangle\langle 0| = c^\dagger$ términos de la matriz de densidad, así que vamos a ver sólo el $c c^\dagger$ y $c^\dagger c$ condiciones: $$ \rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~ dt [\eta, \rho] ~ c c^\dagger -\frac{dt^2}4 \left( \hat v^\dagger (\hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c) - ~(\hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger)~\hat v\right) $$ Vemos que el $\hat v^\dagger \rho \hat v$ corresponden a $c^\dagger c$ y aparentemente colapsar el sistema global algo infinitesimal, algo así como $|\psi\rangle \mapsto |\psi\rangle + \sqrt{dt} v^\dagger |\psi\rangle.$ Por lo general, los libros de texto/documentos dicen por decreto que "estamos midiendo ". $\sqrt{dt} \hat v^\dagger $ más o menos"; ésta es la interpretación real: acoplamiento asintóticamente fuerte que no crece tan rápidamente como el intervalo de medida sobre el que lo estamos aplicando, de modo que obtenemos un alargamiento del estado debido al Efecto Zenón cuántico .
Al "trazar sobre" el qubit, que es lo que se hace cuando se quiere obtener la matriz de densidad efectiva del sistema para todos los operadores-sistema hermitianos que generan valores de expectativa, y definiendo $A = \sqrt{dt/2} ~ \hat v^\dagger$ este proceso físico corresponde a la primera ecuación que escribí. Por lo tanto, es el límite de un sistema que está acoplado a un qubit que usted mide cada marco de tiempo $dt$ que está acoplado al sistema por un Hamiltoniano de interacción $(A c^\dagger + A^\dagger c)/\sqrt{dt/2}.$
Otros recursos
A menudo se pueden derivar expresiones muy similares cuando, por ejemplo, se acopla débilmente el sistema a un baño infinito de bosones, ya que éstos también pueden causar decoherencia constante de forma similar. Si quieres algunos ejemplos, el libro de texto de Wiseman Medición y control cuánticos puede ser de tu agrado. (Creo que, por ejemplo, tenía una cavidad de lasing que tendía naturalmente hacia esa expresión donde $A$ era sólo el aniquilador de los bosones en la cavidad, lo que explica que lleguen a un estado coherente). Si no lo tienes en tu biblioteca, este artículo de arXiv también enlazado más arriba, cubre gran parte del mismo tema. La palabra de moda es "trayectorias cuánticas", que también abarca las simulaciones de sistemas cuánticos cuando se añaden mediciones.
