Por qué $\sin x$ no es igual a ${1\over\csc x}$ ?

Question

Estaba leyendo un libro de matemáticas que decía algo así como:

Es cierto: $\csc x = {1\over{\sin x}}$

Pero, es falso, que: $\sin x = {1\over{\csc x}}$

Pero cómo es posible, de alguna manera está relacionado con su dominio y alcance, pero ¿cómo y por qué? ¿No son lo mismo?

Answer 1

Digamos que yo habría escrito una declaración diferente si hubiera sido el autor del libro. Pero ambas afirmaciones son ciertas.

---

La función $\csc x$ es definido ser $\csc x := \frac 1{\sin x}$ y, por tanto $\csc x$ tiene sentido para $x\neq 2k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$ . Así que la primera frase de tu libro es cierta, ya que es simplemente la definición de la función cosecante.

La segunda frase de tu libro es verdadera, es decir, la igualdad allí es falsa ya que la RHS está definida sólo para $x\neq 2k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$ (ya que contiene la función cosecante, que nunca es $0$ por cierto) y por lo tanto no puede ser igual al LHS para todos los $x\in \mathbb{R}$ que es el dominio de la función seno. La segunda frase significa simplemente que las dos expresiones son iguales sólo por $x\neq 2k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$ .

Answer 2

La expresión $1/\sin x$ sólo tiene sentido cuando $\sin x \neq 0$ mientras que $\sin x$ se define para cada real $x$ . Por tanto, la segunda igualdad sólo es válida cuando $\sin$ y $\csc$ mientras que la primera tiene sentido cuando $\sin x \neq 0$ .