Optimizar el juego - Hacer juego limpio con monedas sesgadas

Question

La pregunta tradicional dice que dada una moneda injusta, con 0,7 de probabilidad de cara, ¿cómo harías un juego limpio? La respuesta es considerar sólo dos resultados. Si dos ensayos dan $HT$ entonces el jugador gana, si no $TH$ el jugador pierde.

Ahora lo interesante es la pregunta de seguimiento. Si ahora la probabilidad de mi cabeza es de 0,99, ¿cómo se puede optimizar el juego con esta moneda? "Optimizar" significa llegar a un juego justo con una cantidad mínima de lanzamientos de moneda.

El enfoque original es ineficaz, porque la mayor parte del resultado sería $HH$ con probabilidad $0.99^2$ ). La probabilidad de $HT$ o $TH$ sería relativamente pequeño.

Answer 1

Cada lanzamiento de moneda proporciona $-P \log_2 P = 0.0143546$ bits de información (incertidumbre), y buscas $1$ un poco de incertidumbre. Por lo tanto, necesita al menos $1/.0143546 \approx 69$ tales lanzamientos. Esto es perfectamente eficiente y las leyes de la información aseguran que no se puede hacer mejor que eso.

Answer 2

La probabilidad de obtener 69 caras consecutivas es $(.99)^{69}=0.4998+$ . Estoy dispuesto a sorprenderme, pero sospecho que eso significa que no se puede organizar un experimento en menos de 69 tiradas que tenga un 50% de posibilidades de éxito.