El grupo fundamental es abeliano si los isomorfismos del grupo fundamental (a-hat) coinciden

Question

Quiero demostrar que si $X$ es un espacio conexo no vacío, entonces el grupo fundamental es abeliano si y sólo si dados cualesquiera puntos $y, z\in X$ y caminos $\alpha, \beta$ de $y$ a $z$ , $\hat{\alpha} = \hat{\beta}$ donde $(\hat{\alpha}([f]) = [\bar{\alpha}]*[f]*[\alpha]$ y análogamente para $\beta$ . Tengo una parte del iff:

Para algunos $x\in X$ Supongamos $\pi_1(X, x)$ es abeliano. Tomemos $y, z\in X$ y caminos $\alpha, \beta$ de $y$ a $z$ . Entonces por isomorfismo entre el grupo fundamental en diferentes puntos base del mismo espacio, $\pi_1(X, z)$ es abeliano. Sea $f$ sea un bucle en $y$ . Entonces $[\bar{\alpha}] * [f] * [\beta]$ es un bucle en $z$ tal cual $[\bar{\beta}]*[\alpha]$ Así que \begin{equation} \begin{split} \hat{\alpha}([f]) &= [\bar{\alpha}]*[f]*[\alpha]\\ &= ([\bar{\alpha}] * [f] * [\beta])*([\bar{\beta}]*[\alpha])\\ &= ([\bar{\beta}]*[\alpha])*([\bar{\alpha}] * [f] * [\beta])\\ &= [\bar{\beta}]*[f]*[\beta]\\ &= \hat{\beta}([f]) \end{split} \end{equation}

Sin embargo, estoy teniendo problemas con la otra dirección, que es demostrar que si $f, g$ son bucles, entonces $[f]*[g] = [g]*[f]$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que $f \ast \alpha  := \gamma$ es una ruta desde $x$ a $y$ y calcula $\bar{\gamma}$ por su definición. Entonces se le da:

$\hat{\gamma} ([g])= \hat{\alpha} ([g])$ ,

que debe cancelar a lo que quieres.

Answer 2

Aquí hay otra manera, bastante similar a la respuesta de gnometorule, pero un poco diferente. Considere cualquier $[f],[g] \in \pi_1(X,x)$ . Su condición suficiente en particular implica $\hat{f} = \hat{g}$ Así que \begin{align} [f] = \hat{f}([f]) = \hat{g}([f]) = [\bar{g}] * [f] *[g] \ , \end{align} es decir $[f]$ y $[g]$ conmutar.