Demostrar la irracionalidad de $\sum_{n = 1}^\infty 2^{−2^n}$ con conceptos básicos

Question

He visto muchos posts sobre $$\sum_{n = 1}^\infty 2^{2^n}$$ y muchos de ellos tratan de la irracionalidad de este límite. Sin embargo, todos parecen intentar demostrar su irracionalidad mediante teoremas y pruebas de irracionalidad como el teorema de Liouville. Me pregunto si hay alguna manera de utilizar un poco de aritmética básica (o un poco de cálculo básico si es necesario) para demostrar que este límite específico es irracional.

Intenté convertir esto en un producto infinito, pero parece que no funcionó. ¿Alguna sugerencia sobre cómo enfocar esto?

Answer 1

Hay un truco sencillo que aprendí de Mathologer, relativo a una prueba fácil de la irracionalidad de $e$ . Sólo funciona para series bonitas con sumandos interrelacionados, pero probablemente sea una de las pruebas totalmente autocontenidas más fáciles.

Pon: $$\alpha:=\sum_{k=1}^\infty 2^{-2^k}$$

Para cualquier $m\in\Bbb N$ escribe $\alpha=N_m+T_m$ donde: $$N_m:=\sum_{k=1}^m2^{-2^{k}},\,T_m:=\sum_{k=m+1}^\infty 2^{-2^k}$$

Si $\alpha=p/q$ como racional (en términos mínimos), entonces: $$2^{2^m}qT_m=2^{2^m}p-2^{2^m}qN_m\in\Bbb Z$$

Sin embargo, podemos acotar fácilmente: $$0<2^{2^m}T_m<\sum_{k=1}^\infty2^{-k2^m}=2^{-2^m}\cdot\frac{1}{1-2^{-2^m}}$$ Que obviamente tiende a cero como $m\to\infty$ (y muy rápido, además). Para cualquier $q$ puedo elegir un especial (de hecho, infinitamente muchos "especiales") $m\in\Bbb N$ tal que: $$0<|2^{2^m}qT_m|<1$$ En contradicción con que sea un número entero. $\blacksquare$

A grandes rasgos, la prueba de trascendencia debería ser la misma en espíritu (no lo he comprobado, pero $\alpha$ debe ser un número de Liouville).

Answer 2

Lemma: Sea $x\in\Bbb R.$ Si para cada $\delta >0$ existe $a,b\in \Bbb Z$ con $0<|x-a/b|<\delta / |b|,$ entonces $x\not\in\Bbb Q.$ Prueba: Por contradicción. Supongamos $c,d\in\Bbb Z$ y $x=c/d.$ Toma $0<\delta <1/|d|$ y tomar $a,b\in\Bbb Z$ tal que

$0<x-a/b|<\delta / |b|.$

Entonces $ 0<|cb-ad|<|d|\delta $

así que $ 1\le |cb-ad|<|d|\delta\;$ (...porque $0<|cb-ad|\in\Bbb Z\implies 1\le |cb-ad|)$

así que $1/|d|\le \delta .$ Pero tomamos $\delta <1/|d|.$ QED.

Sea $x=\sum_{n=1}^{\infty}2^{2^{-n}}.$ Dado $\delta > 0,$ toma $m\in\Bbb N$ lo suficientemente grande como para que $2^{2^{-m}}<\delta.$ Sea $b=2^{2^n}$ y que $a/b=\sum_{n=1}^m 2^{2^{-n}}.$ Entonces $a,b\in\Bbb N$ y

$0<|x-a/b|=\sum_{n=m+1}^{\infty}2^{2^{-n}}<1/b^2<\delta /b=\delta /|b|.$

Observaciones. Obsérvese el papel crucial del " $0<$ "en el enunciado del lema. Obsérvese cómo podemos convertirlo en " $\le 1$ " en la prueba porque convertimos a una condición sobre un entero.