Mínimo de variables aleatorias iid

Question

Tengo muchos problemas para resolver problemas de máximos y mínimos de variables aleatorias. Por ejemplo:

Sea $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ variables aleatorias iid y $f_{X}(x)= \frac{1}{x^{2}}$ cuando $x\geq 1$ y $f_{X}(x)=0$ en otro caso.

Mi problema es que no tengo ni idea de cómo tratar el $Z=min\{X_{1},...,X_{n}\}$ Debería poder encontrar $F_{Z}(z)$ y $f_{Z}(z)$ .

Muchas gracias de antemano por toda vuestra ayuda.

Answer 1

La entrada que se necesita aquí es la idea, difícil de comprender inmediatamente, de que el estadístico de orden mínimo que supera un umbral equivale a que todas las variables aleatorias de la secuencia sean mayores que ese umbral para variables aleatorias no negativas (como la suya). Es decir

$$P(Z>z) = P(\min(X_1,X_2,\dots, X_n)>z) = P(X_1>z,X_2 >z, \dots, X_n>z)$$

A partir de aquí, se podría pasar a hallar la función de distribución acumulativa utilizando el hecho de que $P(Z>z)=1-P(Z\leq z)$ y el supuesto de independencia de la secuencia. El pdf se obtiene por diferenciación.