Encuentre $E[|\frac{X}{Y}|]$ para $X,Y iid \sim Exp(\lambda)$

Question

Encuentre $E\left[|\dfrac{X}{Y}|\right]$ , $E\left[\dfrac{|X|}{Y}\right]$ y $E\left[\dfrac{X}{|Y|}\right]$ para $X,Y iid \sim Exp(\lambda)$

¿Difiere esto de resolver $E\left[\dfrac{X}{Y}\right]$ ?

Resolvería $E\left[\dfrac{X}{Y}\right]$ ? hallando la densidad de Z y luego hallando la expectativa de la variable aleatoria Z con esta distribución.

2. Distribución de $Z = Y/X$ .

Si $X,Y$ son exponenciales independientes con tasas $\lambda,\mu$ entonces $Y = ZX$ y una forma de hacerlo es \begin{align*} f_Z(z) &=\int_0^\infty f_X(x)f_Y(zx)\left|\frac{dy}{dz}\right|dx\\ &= \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\cdot \mu e^{-\mu zx}|x|\,dx\\ &= \int_0^\infty \lambda\mu e^{-(\lambda +\mu z)x}|x|\,dx\\ &= \frac{\lambda\mu}{(\lambda+\mu z)^2}. \end{align*}

Answer 1

En su lugar, consideraré el caso en que $X\sim\mathrm{Expo}(\lambda)$ y $Y\sim\mathrm{Expo}(\mu)$ ya que generaliza el resultado y los cálculos son muy parecidos.

Para $t>0$ tenemos \begin{align} \mathbb P\left(\frac XY>t\right) &= \iint_{\{(x,y)\in\mathbb R^2\ :\ 0\leqslant ty\leqslant x\}} \lambda\mu e^{-\lambda x}e^{-\mu y}\ \mathsf d(x\times y)\\ &= \int_0^\infty \left(\int_{ty}^\infty \lambda e^{-\lambda x}\ \mathsf dx \right) \mu e^{-\mu y}\ \mathsf dy\\ &= \int_0^\infty e^{-\lambda ty}\mu e^{-\mu y}\ \mathsf dy\\ &= \frac{\mu }{\mu +\lambda t}. \end{align} Desde $\mathbb P(X>0) = \mathbb P(Y>0)=1$ podemos calcular la expectativa de $\frac XY$ integrando la función de supervivencia anterior sobre $(0,\infty)$ : \begin{align} \int_0^\infty \frac{\mu }{\mu +\lambda t}\ \mathsf dt = +\infty. \end{align} Concluimos que esta variable aleatoria no tiene expectativa finita.