Me encontré con muchos problemas cuando estudié álgebra homológica por mi cuenta. Por lo tanto, realmente me gustaría ver las respuestas. Espero que todos puedan ayudarme (muchas gracias).
1) Cuando creamos un functor de torsión a partir de una resolución de M ilustrada por:
$...\overset{d_{3}}{\rightarrow} X_{2} \overset{d_{2}}{\rightarrow} X_{1} \overset{d_{1}}{\rightarrow} X_{0} \overset{\epsilon}{\rightarrow}M \rightarrow 0$
Eliminamos M en la resolución anterior entonces tenemos:
$...\overset{d*_{3}}{\rightarrow} X_{2} \overset{d*_{2}}{\rightarrow} X_{1} \overset{d*_{1}}{\rightarrow} X_{0} \rightarrow 0$
Ahora bien, la secuencia anterior es semiexacta. Después de tomar homología del tensor producto de ella y el módulo B, tenemos functor de torsión. Me gustaría preguntar que $d_{i}$ y $d*_{i}$ es el mismo con $i\ge 1$ ¿o no? Si es lo mismo (me refiero a que cuando tomamos la homología), $Tor_{n}(M,B)$ será igual a cero con $n\ge 1$ porque $Imd*_{i+1}=Imd_{i+1}=Kerd_{i}=Kerd*_{i}$ entonces $Im(d*_{i+1}\otimes 1) = Ker(d*_{i}\otimes 1)$
2) Tenemos cohomología por efecto del functor $Hom(-,B)$ a secuencia semiexacta y luego tomar homología. Me gustaría preguntar que se llamará también cohomología cuando usemos el functor $Hom(B,-)$ ¿o no?
