¿Las propiedades $f(x)f(y)=f(x+y)$ y $f(x) \geq 1+x$ caracterizan de forma única la función $f(x)=e^x$ ?

Question

En este post sobre posibles definiciones de la función exponencial, se menciona que $e^x$ es la única función $f:\Bbb{R}\mapsto\Bbb{R}$ satisfaciendo

• $f(x)f(y)=f(x+y)$
• $f(x)\geq 1+x$

¿Realmente estas propiedades por sí solas caracterizan de forma única la función exponencial, o tenemos que imponer más requisitos (por ejemplo, que $f$ ser continua)?

Answer 1

Observe que $f(0) = 1$ (ya que $0 < 1 + 0$ ). Además, $ f(-x) = \frac{1}{f(x)}$ para todos $x > -1$ .

Así, para todos los $1 > x > -1,$ $$ \frac{1}{1+x} \ge \frac{1}{f(x)} = f(-x) \ge 1-x. $$ Al apretar, concluimos que $\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = f(0).$

Pero entonces $$ \lim_{x \to y} f(x) = \lim_{\delta \to 0} f(y + \delta) = f(y) \lim_{\delta \to 0} f(\delta) = f(y),$$ y, en consecuencia, la función es continua en todas partes. Ahora podemos utilizar el argumento habitual con continuidad para concluir que la función es de la forma $b^x$ para algunos $b > 0$ .

Además, utilizando los límites de $f(x)$ en lo anterior, podemos demostrar que $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x} = 1$ (esto es más fácil con algunos casos - si $1 > x > 0$ entonces $1 \le (f(x) - 1)/x \le 1/({1-x})$ . Si $-1 < x \le 0,$ las desigualdades se invierten. En cualquier caso, la compresión conduce al límite $1$ ). Pero la derivada de $b^x$ en $0$ es $\ln b$ que es igual a $1$ si $b = e.$

Answer 2

Es fácil ver que $f(nx)=f(x)^n$ y $f\left(\frac xn\right)=f(x)^{\frac 1n}$ . También $f(0)=1$ y $f(-x)=\frac 1{f(x)}$

Supongamos ahora que existe un valor de $x$ con $f(x)\lt e^x$ para que $f(x)=e^y$ para algunos $y$ con $y\lt x$ (no asuma $x$ positivo)

Entonces $f\left(\frac xn\right)=e^{\frac yn}=1+\frac yn + \dots$ y con $y\lt x$ Creo que puedes elegir $n$ lo suficientemente grande como para $\lt 1+\frac xn$

Si $f(x)=e^y$ con $y\gt x$ entonces utilizamos $f(-x)=e^{-y}$ y $-y\lt -x$