Demuestra que $1/(1+\|A\|) < \|(I-A)^{-1}\| <1/(1-\|A\|)$

Question

Si $A$ es un $n\times n$ tal que $\|A\|<1$ , demuestre que $(I-A)$ es invertible y $$ \frac{1}{1+\|A\|} < \|(I-A)^{-1}\| <\frac{1}{1-\|A\|} $$

Mi juicio:

Primero en mostrar $I-A$ es invertible: si no, entonces existe un vector distinto de cero $x$ tal que $(I-A)x =0 $ Por lo tanto $Ax=x$ Así que $\|x\|=\|Ax\|\le\|A\| \|x\|$ y puesto que $x$ es un vector distinto de cero, obtenemos $\|A\|\ge\|x\|$ lo que contradice la suposición.

Para demostrar la segunda parte, por la desigualdad del triángulo tenemos $$ \|I\|-\|A\| \le \|I-A\|\le\|I\|+\|A\| $$ Pero la norma de la identidad es igual a 1.

Me detuve aquí ya que sé $\|(I-A)^{-1}\|$ no es igual a $\|I-A\|^{-1}$

¿Alguna ayuda?

La norma aquí es la norma espectral o la norma del operador.

Answer 1

Desde $(I-A)^{-1}=I+(I-A)^{-1}A$ , $$\|(I-A)^{-1}\|\leq 1+\|(I-A)^{-1}\|\|A\|,$$ que da el límite superior. En $(I-A)^{-1}(I-A)=I$ tenemos $$1\leq\|(I-A)^{-1}\|\|I-A\|\leq\|(I-A)^{-1}\|(1+\|A\|),$$ que da el límite inferior.

Answer 2

Considere la matriz $B=I+A+A^2+A^3+\ldots$ (demostrar que la serie converge) y calcular el producto $B(I-A)$ . A continuación, estime la norma de $B$ .