Comprender intuitivamente el trabajo y la energía

Question

Es fácil entender los conceptos de momento e impulso. La fórmula $mv$ es simple y fácil de razonar. Tiene una simetría obvia.

No puede decirse lo mismo de la energía cinética, el trabajo y la energía potencial. Entiendo que un objeto ligero que se mueve a una velocidad muy alta va a hacer más daño que un objeto pesado que se mueve a una velocidad más lenta (siendo sus momentos iguales) porque $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ Pero, ¿por qué? La mayoría de las explicaciones que he leído utilizan la lógica circular para derivar esta ecuación, aplicando la fórmula $W=Fd$ . Incluso los vídeos de Samlan Khan sobre energía y trabajo utilizan definiciones circulares para explicar estos dos términos. Tengo tres preguntas clave:

• ¿Cuál es una definición de energía que no utilice esta lógica circular?
• ¿En qué se diferencia la energía cinética del momento?
• ¿Por qué cambia la energía según $Fd$ y no $Ft$ ?

Answer 1

Puede que desee ver ¿Por qué la energía cinética aumenta cuadráticamente, y no linealmente, con la velocidad? también, está bastante relacionado.

Principalmente, la respuesta a tus preguntas es "simplemente es así". Más o menos.

¿Cuál es una definición de energía que no utilice esta lógica circular?

Veamos la segunda ley de Newton: $\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$ . Multiplicando(d0t producto) ambos lados por $d\vec s$ obtenemos $\vec F\cdot d\vec s=\frac{d\vec p}{dt}\cdot d\vec s $

$$\therefore \vec F\cdot d\vec s=\frac{d\vec s}{dt}\cdot d\vec p$$ $$\therefore \vec F\cdot d\vec s=m\vec v\cdot d\vec v$$ $$\therefore \int \vec F\cdot d\vec s=\int m\vec v\cdot d\vec v$$ $$\therefore \int\vec F\cdot d\vec s=\frac12 mv^2 +C$$

Aquí se define el lado izquierdo como trabajo y el lado derecho (sin la C) como energía cinética. Así que la lógica parece circular, pero lo cierto es que ambas se definen simultáneamente.

¿En qué se diferencia la energía cinética del momento?

Es sólo un diferente cantidad conservada, eso es todo. El momento se conserva mientras no haya fuerzas externas, la energía cinética se conserva mientras no se realice trabajo.

Por lo general, es mejor considerarlas como herramientas matemáticas y no vincularlas demasiado a nuestra noción de movimiento para evitar este tipo de confusiones.

¿Por qué cambia la energía según $Fd$ y no $Ft$ ?

Véase la respuesta a la primera pregunta. "Simplemente es así", es una forma de verlo.

Answer 2

Después de indagar más, encontré esta cita de Feynman -

Existe un hecho, o si lo desea, una ley que rige todos los fenómenos naturales conocidos hasta la fecha. No se conoce ninguna excepción a esta ley: es exacta hasta donde sabemos. La ley se llama conservación de la energía.

Afirma que existe una determinada cantidad, que llamamos "energía", que no cambia en los múltiples cambios que experimenta la naturaleza. Es una idea de lo más abstracta, porque es un principio matemático; dice que hay una cantidad numérica que no cambia cuando ocurre algo.

No es la descripción de un mecanismo, ni nada concreto; es un hecho extraño que cuando calculamos algún número y cuando terminamos de ver a la naturaleza hacer sus trucos y volvemos a calcular el número, es el mismo.

Es importante darse cuenta de que en la física actual no sabemos lo que "es" la energía. No tenemos una imagen de que la energía viene en pequeñas burbujas de una cantidad definida. No es así. Es algo abstracto en el sentido de que no nos dice el mecanismo ni la razón de las diversas fórmulas.

Como demostró la respuesta de Manishearth, ciertamente es posible mostrar los principios matemáticos que intervienen en la comprensión de la energía, pero me parece que es una fórmula pensada para la conveniencia matemática (como lo es Ecuación de Torricelli ), y no algo destinado a ser comprendido intuitivamente en sí mismo -

En general, es mejor considerar [la energía cinética y el momento] como herramientas matemáticas y no vincularlas demasiado a nuestra noción de movimiento para evitar esas confusiones.

Answer 3

¿Cuál es una definición de energía que no utilice esta lógica circular?

Históricamente, la gente no tenía ni idea de que la energía se conservaba, básicamente porque no es obvio que cuando la energía mecánica parece disiparse al menos parcialmente en la nada, en realidad se está convirtiendo en calor. A menudo, los cambios de temperatura son muy pequeños y no se notan. Pero la gente tenía una idea intuitiva clara de que $Fd$ era una buena cifra de mérito para lo que hacía un caballo o una máquina de vapor, así que lo llamaban trabajo. Más tarde, cuando se descubrió la conservación de la energía, tenían esta escala numérica preexistente, y se dieron cuenta de que era una medida de la transferencia o transformación de la energía, así que empezaron a utilizarla como unidad de energía.

Desde un punto de vista moderno, hay otra forma más agradable de proceder. Partimos de una definición más fundamental de la energía. Por ejemplo, podemos definir alguna forma estándar de energía, como la energía cinética. A continuación, aprovechando y limitados por la conservación de la energía, determinamos una escala numérica para esta forma de energía y para otras formas de energía que pueden convertirse a y desde ella, como la energía potencial gravitatoria. La cita de Feynman en la respuesta de TreyK es una presentación de esta filosofía. Uno puede entonces definir el trabajo en términos de energía, como la cantidad de energía transferida por una fuerza macroscópica, y demostrar un teorema de que se mide por $W=Fd$ en determinadas condiciones. O podemos seguir con $W=Fd$ como definición de trabajo, en cuyo caso podemos demostrar como teorema que es igual a la energía transferida.

[...] $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ Pero, ¿por qué?

El factor de 1/2 delante es puramente un artefacto histórico. Las leyes de conservación no cambian su validez cuando se cambian las unidades, así que podríamos tener cualquier factor delante que quisiéramos. Pero si, por ejemplo, decidimos definir la energía cinética como $mv^2$ entonces tendríamos que cambiar los factores numéricos en todas las demás ecuaciones relacionadas con la energía, por ejemplo, tendríamos $W=2Fd$ .

La proporcionalidad a $m$ tiene que ser así porque las leyes de conservación son aditivas. Por ejemplo, si KE se define como $m^2v^2$ no sería aditivo al sumar las energías de dos objetos diferentes.

El factor de $v^2$ no tiene por qué ser así lógicamente, y de hecho no lo es realmente $v^2$ -- relativísticamente la ecuación correcta es diferente, y $v^2$ es sólo una aproximación para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Sin embargo, si suponemos que la mecánica newtoniana es una buena aproximación, entonces tiene que ser $v^2$ . Hay varias formas de demostrarlo. Por ejemplo, en la mecánica newtoniana el momento es igual a $mv$ y se conserva. Si se toma KE como proporcional a $v^2$ y además quieres que la energía se conserve independientemente de tu marco de referencia, entonces obtienes una condición que es exactamente la conservación de $mv$ . Para cualquier otra proporcionalidad además de $v^2$ el comportamiento de las leyes de conservación de la energía y el momento no sería coherente entre sí al cambiar de marco de referencia.

Answer 4

"La mayoría de las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente simples y, por regla general, pueden expresarse en un lenguaje comprensible para todos". (Einstein e Infeld, La evolución de la física )

Tuve una pregunta similar a la de OP sobre la energía mientras estudiaba el curso de física clásica de Dave Farina ( https://youtube.com/playlist?list=PLybg94GvOJ9HjfcQeJcNzLUFxa4m3i7FW ).

¿Qué son realmente la energía y el trabajo? ¿De qué características de la realidad hablamos cuando utilizamos estas palabras? No creo que baste con decir que son definiciones útiles pero arbitrarias. Y creo que podemos hacer algo mejor que decir que la energía no se entiende intuitivamente por sí misma. Una definición es útil porque recoge algún aspecto relevante de la naturaleza, algo real a lo que corresponden nuestras palabras. Así es como nuestras palabras tienen sentido. Si nos negamos a remitirnos a la intuición, perdemos ese sentido y nos limitamos a utilizar fórmulas de memoria. Los aspectos de la naturaleza pueden intuirse en nuestra experiencia, y utilizamos conceptos científicos para representarlos y analizarlos. Entonces, ¿qué aspectos de la naturaleza están representados por el trabajo y la energía? Tras reflexionar un poco, he aquí mis respuestas a OP:

1. La energía es una aceleración materializado y espacializado o simplemente fuerza espacializada .
2. El impulso es velocidad que tiene sólo se ha materializado. A diferencia de la energía, el paso de espacialización no se lleva a cabo, ni hay un cambio en la velocidad.
3. Para espacializar la fuerza, debemos multiplicar $F$ por una longitud espacial, $d$ . Multiplicar por $t$ extiende la fuerza en el tiempo en lugar de en el espacio. Pero esto sólo anula una de las dos divisiones por $t$ que ya hemos hecho para pasar del desplazamiento a la velocidad y a la aceleración. Nos trae de vuelta de $ma$ à $mv$ y así $F \Delta t = \Delta mv$ .

Consulte a continuación la explicación completa. Se trata básicamente de una versión ampliada del análisis dimensional con algunas interpretaciones. Primero estimularé la intuición utilizando una analogía de la forma en que la cinemática se convierte en dinámica. Luego daré una definición de energía a partir de los primeros principios, utilizando la menor cantidad de matemáticas posible. Por último, responderé a las tres preguntas con más detalle. Creo que la clave está en utilizar la imaginación analítica para formar conceptos intuitivos de las magnitudes físicas y sus combinaciones.

De la cinemática a la dinámica

El paso clave en la dinámica es la introducción de la masa como cantidad. La cinemática habla de desplazamiento, velocidad y aceleración, pero los abstrae de la materia de los objetos implicados. Incluimos la dimensión de la masa multiplicando cada cantidad de la cinemática por $m$ : $$d \rightarrow m \cdot d\\v \rightarrow m \cdot v\\a \rightarrow m \cdot a\\$$

Esto es lo que hizo Newton cuando se refirió al momento como una cantidad significativa medida en kilogramos-metros por segundo que combina tanto la velocidad de movimiento como la cantidad de materia de un objeto. Del mismo modo, la fuerza tiene en cuenta tanto la masa como la aceleración de un objeto, no sólo la aceleración como en la cinemática. No sé si $m \cdot d$ tiene un nombre, pero podríamos llamarlo algo así como "extensión material" o "longitud de la materia".

En efecto, los conceptos cinemáticos se hacen más hormigón incluyendo el factor de la masa, que es una realidad concreta de la naturaleza que conocemos por intuición (es decir, por el hecho de ver/sentir que la materia tiene resistencia). Por tanto, podemos llamar a este procedimiento de introducción de la masa el materialización de desplazamiento, velocidad y aceleración. $d, v, a$ son conceptos abstractos en cinemática, y los hacemos menos abstractos incluyendo la masa junto a ellos. Así es como pasamos de la cinemática a la dinámica.

Espacializar" la cinemática

Ahora tomemos el procedimiento anterior, pero en lugar de introducir la dimensión de la masa introduzcamos la dimensión espacial. Nos espacializar desplazamiento, velocidad y aceleración incluyendo el concepto espacial de desplazamiento, distancia o longitud . Para ello, multiplicamos cada uno de ellos por $d$ . Tenemos:

$$d \rightarrow d \cdot d\\ v \rightarrow d \cdot v\\ a \rightarrow d \cdot a\\$$

La primera es una "longitud de una longitud", o simplemente área, medida en $m^2$ . Podemos llamar a la segunda "longitud de movimiento" por analogía con la "cantidad de movimiento" de Newton para $mv$ . Aquí queremos imaginar una única dimensión espacial que no esté vacía (como $d$ ), o lleno de materia (como $m \cdot d$ ) pero "lleno" de movimiento ( $d \cdot v$ ). Por último, tenemos una "longitud de aceleración", $d \cdot a$ que es un espacio que "contiene" la aceleración y nada más. Nuestra imaginación puede hacer estas combinaciones abstractas, aunque nunca encontremos una "longitud de movimiento" o una "longitud de aceleración" como realidades separadas en la experiencia. La aceleración es siempre de alguna masa, en algún contexto específico, etc. Pero en la ciencia hacemos abstracciones para centrarnos en elementos separados.

Trabajo y energía

Según la fórmula $W = F \cdot d$ y la discusión anterior podemos dar la siguiente definición de trabajo:

El trabajo es fuerza espacializada.

Para multiplicar $F$ por $d$ sólo significa extender la fuerza en el espacio, o "espacializarla". De forma más completa podemos decir que el trabajo se espacializa y se materializa aceleración que se hace evidente tras una simple sustitución: $W = m \cdot a \cdot d$ . Cuando se realiza un trabajo, la aceleración se "combina" con la masa, por un lado, y con la distancia, por otro. El trabajo produce una longitud de fuerza, o una longitud de una cantidad material de aceleración. También podríamos decir que el trabajo actualiza una fuerza en el espacio teniendo en cuenta la longitud del espacio sobre el que se aplica la fuerza.

Llegamos a la energía cinética trabajando con las fórmulas. Suponiendo una velocidad inicial de $0$ y constante $a$ :

$$d = {1 \over 2}vt \text{ , } a = {v \over t}$$

Por lo tanto espacializado la aceleración desde arriba se reduce a: $$d \cdot a = {1 \over 2}vt \cdot {v \over t} = {1 \over 2}v^2$$

Luego introducimos la masa para obtener una aceleración espacializada y materializado o trabajo, que es igual al cambio en la energía cinética: $$d \cdot a \cdot m = W = {1 \over 2}mv^2 = E_k$$

Para responder a las preguntas del OP:

1. La energía puede definirse sin circularidad como aceleración espacializada y materializada o simplemente como fuerza espacializada medido en $Nm$ o julios. Esto sólo se refiere a nuestros conceptos intuitivos de espacio, materia/masa y aceleración. (A su vez, la aceleración se refiere a los conceptos de cambio, espacio y tiempo.) Es cierto que partimos de la fórmula $W=mad$ y se podría decir que agrupamos m, a y d por elección arbitraria. Pero esta agrupación se refiere a un aspecto de la realidad concreta, y eso es lo que expresa una definición. No basta con dar símbolos y operaciones lógicas. Nuestros conceptos físicos se refieren en realidad a la naturaleza que está fuera de nosotros.
2. La energía es aceleración que se ha materializado y espacializado . Mientras que el impulso es velocidad que sólo ha sido materializado ( $mv$ ). El paso de espacialización no se ha realizado, ni la velocidad cambia. Si espacializamos el momento, obtendremos un longitud de impulso, o $mvd$ . Si a continuación tomamos la tasa de variación temporal de su velocidad, obtendremos el trabajo o $mad$ . Podemos decir que el momento es el movimiento constante de una masa, mientras que la energía es la aceleración de una masa que se ha extendido en el espacio.
3. $F \cdot d$ nos permite "espacializar" la fuerza: representa la extensión de la fuerza en el espacio. La realidad de esa Fuerza-espacio es lo que entendemos por energía. Por otra parte $F \cdot t$ temporaliza" la fuerza o la prolonga en el tiempo. Sin embargo, ya hemos dividido por el tiempo dos veces para llegar de la distancia a la velocidad y de la velocidad a la aceleración (de ahí que las unidades de fuerza sean $kg \cdot {m \over s^2}$ ). Por tanto, la t en $Ft$ cancelará uno de estos divisores para darnos $mv$ y, por tanto $Ft$ es el impulso o el cambio de momento.

Answer 5

La energía cinética, por su nombre, es la energía del movimiento de una masa, a diferencia, por ejemplo, de la energía potencial, la energía eléctrica, la energía térmica, etc.
La fácil explicación geométrica de $Ke= 1/2 mv^2$ es dibujar el triángulo rectángulo de MV, momento como lado vertical y V como lado horizontal. el área del triángulo rectángulo representa la energía Ke total mientras se está convirtiendo gradualmente en otro tipo de enrgía, o si integramos MV a lo largo del eje de V: $\int MV.dv|= 1/2 MV^2$ ¡!